2

6* А. Капіносов. Алгебра. 7 кл. Сист. Курс

. 7¹² : 7⁴ = 7⁸; ; 0,1⁵⁰ : 0,1²⁰ = 0,1³⁰; .

Доведення теореми

1. a^m–n · aⁿ = a^m–n+n = a^m.

2. Оскільки a^m–n · aⁿ = a^m, то за означенням ділене a^m–n є часткою чисел a^m : aⁿ, тобто a^m : a^т = a^m–n.

Ілюстрація доведення

Оскільки a⁷ · a³ = a¹⁰ за властивістю добутків степенів, то за означенням частки a¹⁰ : a⁷ = a³.

3. Степінь добутку та степеня

Теорема. Для будь-яких чисел a і b n-й степінь їх добутку дорівнює добутку n-х степенів цих чисел:

(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.

Щоб піднести до степеня добуток, можна піднести до цього степеня кожний множник і результати перемножити:

(abc)ⁿ = aⁿ · bⁿ · cⁿ; (abcd)ⁿ = aⁿ · bⁿ · cⁿ · dⁿ.

Приклади.

(ax)³ = a³ · x³; (5a)² = 5² · a² = 25a²; (10ab)⁴ = 10⁴ ·a⁴ · b⁴ = 10000a⁴b⁴; (2ab)³ = 2³ · a³ · b³ = 8a³b³.

Доведення теореми

Ілюстрація доведення

Теорема. Для будь-якого числа a і довільних чисел m і n справедлива рівність:

При піднесенні степеня до степеня основу залишають тією ж, а показники степеня перемножують.

Приклади.

(a³)⁴ = a¹²; (b⁵)² = b¹⁰; (2⁸)² = 2¹⁶; (5⁴)³ = 5¹²; (c¹⁰⁰)⁵ = c⁵⁰⁰; (10⁴⁰)²⁰ = 10⁸⁰⁰.

Доведення теореми

Ілюстрація доведення

Початкове вивчення теми

Навчальні завдання

1. Поняття про степінь з натуральним показником

№63. 

1. 1) Яка спільна назва у виразів a⁵; b³; 10²; 8,5⁴; (a + b)³; (ab)¹⁰; (a – c)⁴?

а) Сума; б) частка; в) степінь.

2) Який із записів а)–в) називають n-м степенем числа а?

а) na; б) n^a; в) aⁿ.

3) Який із записів а)–г) є п’ятим степенем числа b?

а) 5^b; б) 5 + b; в) b⁵; г) 5b.

4) Який із записів а)–в) є шостим степенем виразу a + 1?

а) 6(a + 1); б) 6^a + 1; в) (a + 1)⁶.

5) Який із записів а)–в) є шостим степенем числа a + 1?

а) 6(a + 1); б) 6^a + 1; в) (a + 1)⁶.

6) Як по-іншому називають другий степінь числа a?

а) Кубом числа a; б) квадратом числа a.

7) Як по-іншому називають третій степінь числа a?

8) У записі а¹⁰ назвати основу степеня.

9) У записі x⁸ назвати показник степеня.

Доповнити запис (10–12).

Якщо n — натуральне число, то...

10) n-им степенем числа a називають ______________________.

11) у степені aⁿ основою називають число ___.

12) у степені aⁿ показником називають число ___.

2. Прочитати (1–5):

1) b²; 2) c³;

3) m²; 4) 7³;

5) 8¹².

3. Записати:

1) третій степінь числа b;

2) m у другому степені;

3) добуток ab у першому степені;

4) суму a + b у другому степені;

5) п’ятий степінь числа m;

6) квадрат числа b;

7) куб числа m;

8) квадрат числа a + 5;

9) куб числа a – 3;

10) куб числа ac.

№64. 

1. Чому дорівнює...

1) а · а · а:

а) a³; б) 3a; в) 3^a.

2) 9 · 9 · 9 · 9:

а) 9⁴; б) 4 · 9; в) 4⁹.

3) y⁵:

а) y · y · y · y · y; б) 5y; в) y + y + y + y · y.

4) 2³:

а) 2 · 2 · 2; б) 2 · 3; в) 2 + 2 + 2.

Доповнити запис (5–6):

5)  = __________.

6) Якщо m — натуральне число, то .

2. Серед виразів а)–в) вказати вираз, якому дорівнює...

1) x · x · x:

а) x³; б) 3x; в) 3^x.

2) 9 · 9 · 9 · 9:

а) 9⁴; б) 4 · 9; в) 4⁹.

3) a · a · a · a · a · a:

а) a⁶; б) 6a; в) 6^a.

4) (a – 2)(a – 2)(a – 2):

а) 3(a – 2); б) 3^(a–2); в) (a – 2)³.

Серед виразів а)–в) вказати вираз, якому за означенням степеня дорівнює:

5) 3⁵:

а) 3 · 3 · 3 · 3 · 3; б) 3 + 3 + 3 + 3 + 3; в) 5 · 5 · 5;

6) a⁶:

а) a +a + a + a + a + a; б) 6a; в) a · a · a · a · a · a;

7) (a – b)³:

а) (a – b) + (a – b) · (a – b); б) (a – b)(a – b)(a – b); в) a³ – b³.

3. Записати у вигляді степеня (1–4):

1) 2 · 2 · 2; 2) x · x · x · x;

3) m · m · m · m · m · m; 4) 10 · 10 · 10 · 10 · 10.

Записати у вигляді добутку однакових множників (5–8):

5) 4⁵; 6) 2⁴;

7) a⁵; 8) (a – b)³.

№65. 

1. 1) b — довільне число. Чому дорівнює b¹?

а) 0; б) 1; в) b.

2) Чому дорівнює перший степінь будь-якого даного числа?

а) Даному числу; б) 0; в) 1.

3) Доповнити запис: a¹ = _____.

2. Вказати правильну відповідь:

1) 5¹ = ...:

а) 5; б) 1; в) 0.

2) m¹ = ...:

а) 1; б) 0; в) m.

3) (–0,4)¹ = ...:

а) 1; б) 0,4; в) –0,4.

4)  = ...:

а)  ; б) 10; в) 1.

5) (a – 2)¹ = ...:

а) 0; б) a – 2; в) 1.

6) (ab)¹ = ...:

а) 0; б) 1; в) ab.

3. Знайти значення степеня:

1) 7¹; 2) (–0,6)¹; 3) z¹; 4)  ;

5) (x + 3)¹; 6) (xz)¹.

№66. 

1. Яким — додатним чи від’ємним — є кожне з чисел (1–3):

1) 7²; 10³; 0,2⁴; ; ;

2) (–4)²; (–8)⁴; (–0,5)⁶; ; ;

3) (–4)³; (–8)⁵; (–0,5)⁷; ; ?

4) Якому числу дорівнюють степені 0¹; 0²; 0³; 0⁷; 0⁹⁹; 0¹⁰⁰?

Доповнити записи.

5) Натуральний степінь числа 0 дорівнює числу ____________.

6) Натуральним степенем будь-якого додатного числа є __________.

7) Степенем від’ємного числа з парним показником є ____________.

8) Степенем від’ємного числа з непарним показником є ____________.

Назвати, яким — додатним чи від’ємним — числом є число (9–16):

9) a², якщо a > 0; 10) a², якщо a < 0;

11) c³, якщо c > 0; 12) c³, якщо c < 0;

13) x⁴, якщо x < 0; 14) x⁵, якщо x < 0;

15) y²⁰, якщо y < 0; 16) y²¹, якщо y < 0.

2. 1) Серед чисел а)–е) вказати три числа, які дорівнюють 0:

а) 0²; б) 5²; в) 0¹⁰⁰³;

г) 1¹⁰; д) 0¹⁰⁰; е) (–1)¹⁰⁰.

2) Серед степенів а)–е) з від’ємними основами вказати три, які є додатними числами:

а) (–5)⁴; б) (–5)⁷; в) (–5)¹¹;

г) (–0,5)⁶; д) (–0,5)⁵⁴; е) (–0,5)³.

3) Серед степенів а)–е) з від’ємними основами вказати три, які є від’ємними числами:

а) (–11)²; б) (–11)³; в) (–11)¹³;

г) (–1,1)⁴; д) (–1,1)²⁰; е) (–1,1)⁴¹.

4) Серед степенів а)–е) вказати три, які є додатними числами:

а) (–8)⁴; б) 102³; в) (–7)¹²;

г) (–9)⁵; д) (–0,4)⁶; е) (–10)¹¹.

5) Серед степенів а)–е) вказати три, які є від’ємними числами:

а) 0,4¹⁰⁰; б) (–8,2)³; в) (–8,2)¹⁰;

г) (–0,3)⁵; д)  ; е)  .

6) x — від’ємне число. Серед степенів а)–е) числа x вказати три, які є додатними числами:

а) x⁶; б) x¹¹; в) x⁸¹;

г) x²⁰³; д) x²; е) x²⁰.

7) y — від’ємне число. Серед степенів а)–е) числа y вказати три, які є від’ємними числами:

а) y¹¹; б) y¹²; в) y⁷⁷;

г) y¹⁰²; д) y²⁰⁰; е) y²⁰¹.

8) a — додатне число, b — від’ємне число. Серед степенів а)–е) вказати три, які є додатними числами:

а) a¹³; б) b¹³; в) a¹⁴;

г) b¹⁴; д) b²¹; е) b⁷.

3. Записати (1–5):

1) три степені з різними показниками, значення яких дорівнюють нулю;

2) три степені числа –7, які є додатними числами;

3) три степені числа –8,1, які є від’ємними числами;

4) три степені від’ємного числа c, які є додатними числами;

5) три степені від’ємного числа p, які є від’ємними числами.

№67. 

1. 1) Яке число є значенням степеня 5²?

а) 10; б) 25; в) 7.

2) Доповнити запис.

Дію знаходження значення степеня називають _______________.

Назвати число, яке одержать при піднесенні до степеня (3–10):

3) 7² = ...:

а) 14; б) 49; в) 9;

4) (–6)² = ...:

а) –12; б) 36; в) –36;

5) 2³ = ...:

а) 6; б) 8; в) 5;

6) (–2)³ = ...:

а) –6; б) –5; в) –8;

7) 2⁵ = ...:

а) 10; б) 32; в) 4;

8)  = ...:

а)  ; б)  ; в)  ;

9) 0,2² = ...:

а) 0,4; б) 0,04; в) 2,2;

10) (–0,3)³ = ...:

а) –0,027; б) –0,9; в) 0,9.

2. Вказати правильну відповідь:

1) 9² = ...:

а) 18; б) 11; в) 81; г) –81;

2) (–7)² = ...:

а) –14; б) 14; в) –49; г) 49;

3) 2⁴ = ...:

а) 8; б) 16; в) 4; г) 32;

4)  = ...:

а)  ; б)  ; в)  ; г)  ;

5) (–3)³ = ...:

а) –9; б) 9; в) –27; г) 27;

6) 0,3² = ...:

а) 0,9; б) 0,6; в) 0,09; г) 0,009;

7) (–0,6)² = ...:

а) 1,2; б) 0,36; в) 0,036; г) 0,12;

8)  = ...:

а)  ; б)  ; в)  ; г)  .

3. Піднести до степеня:

1) 8²; 2) (–9)²; 3) 2⁵; 4)  ;

5) (–5)³; 6) 0,5²; 7) (–0,4)²; 8)  .

№68.

1. Назвати дію, яку виконують першою при знаходженні значення виразу:

1) 5 – 2³; 2) 7 · 2⁵; 3) (3 + 4)²; 4) 5² + 2².

5) Які з наведених дій є діями першого ступеня?

а) Додавання і віднімання; б) множення і ділення; в) піднесення до степеня.

6) Назвати дві дії другого ступеня.

7) Дією якого ступеня є піднесення до степеня?

а) Першого ступеня; б) другого ступеня; в) третього ступеня.

8) Обчислюючи значення виразу, що містить дії трьох ступенів, спочатку виконують дію…

а) першого ступеня; б) другого ступеня; в) третього ступеня.

Доповнити запис (9–10).

9) Якщо вираз містить дії різних ступенів, то виконують спочатку дії ___________ ступеня, потім дії ___________ ступеня, а останніми — дії ___________ ступеня.

10) Якщо вираз містить дужки, то спочатку виконують дії ___________.

2. Вказати правильну відповідь:

1) 3 + 7² = ...:

а) 10² = 100; б) 3 + 14 = 17; в) 3 + 49 = 52;

2) 10 – 2³ = ...:

а) (10 – 2)³ = 8³ = 512; б) 10 – 8 = 2; в) 10 – 6 = 4;

3) 7 · 2⁵ = ...:

а) 9⁵; б) 7 · 10 = 70; в) 7 · 32 = 224;

4) (3 + 4)² = ...:

а) 7² = 49; б) 7² = 14; в) 3² + 4² = 9 + 16 = 25;

5) 5² + 2² = ...:

а) 7² = 49; б) 25 + 4 = 29; в) 10 + 4 = 14.

3. Виконати дії:

1) 5 + 4²; 2) 17 – 3²; 3) 34 + 3²; 4) 6 · 2³;

5) (8 – 4)³; 6) (3 + 8)²; 7) 2² + 3²; 8) 3² – 2².

№69. 

1. 1) Доповнити запис.

При читанні виразів першою називають дію, яку виконують ___________________.

Вказати дію, яку виконують останньою, і вираз (2–10):

2) (a + b)²:

а) сума квадратів чисел a і b; б) квадрат суми чисел a і b;

3) a² + с²:

а) сума квадратів чисел a і с; б) квадрат суми чисел a і с;

4) (a – 7)²:

а) різниця квадратів чисел a і 7; б) квадрат різниці чисел a і 7;

5) (a – m)³:

а) куб різниці чисел a і m; б) різниця кубів чисел a і m;

6) a³ + 5³:

а) сума кубів чисел a і 5; б) куб суми чисел a і 5;

7) (ab)⁴:

а) четвертий степінь добутку чисел a і b; б) добуток четвертих степенів чисел a і b;

8) x⁴ · y⁴:

а) четвертий степінь добутку чисел x та y; б) добуток четвертих степенів чисел x та y;

9) a⁵ · c⁵:

а) п’ятий степінь добутку чисел a і с; б) добуток п’ятих степенів чисел a і с;

10) (mn)⁵:

а) п’ятий степінь добутку чисел m і n; б) добуток п’ятих степенів чисел m і n.

2. Серед виразів а)–е) вказати вираз, який є:

1) квадратом суми чисел a і m:

а) a² + m²; б) (am)²; в) (a + m)²;

2) квадратом різниці чисел x та y:

а) x² – y²; б) (x – y)²; в) (x + y)²;

3) квадратом добутку чисел m і p:

а) m²p²; б) (mp)²; в) (m + p)²;

4) квадратом частки чисел 5 і a:

а) (5a)²; б)  ; в)  ;

5) кубом суми чисел m і n:

а) (m + n)³; б) (mn)³; в) m³ + n³;

6) кубом різниці чисел x і z:

а) x³ – z³; б) (x + z)³; в) (x – z)³;

7) четвертим степенем суми чисел a і 4:

а) (a – 5)⁴; б) (a + 5)⁴; в) a⁴ + 5⁴;

8) п’ятим степенем добутку чисел x та y:

а) (xy)⁵; б) x⁵ · y⁵; в) (x + y)⁵;

9) сумою квадратів чисел x і z:

а) (x + z)²; б) (xz)²; в) x² + z²;

10) різницею квадратів чисел x і z:

а) (x – z)²; б) x² + z²; в) x² – z²;

11) добутком квадратів чисел x і z:

а) (xz)²; б) x² · z²; в) x² + z²;

12) сумою кубів чисел m і n:

а) m³ + n³; б) (m + n)³; в) m³ – n³;

13) різницею кубів чисел m і n:

а) (m – n)³; б) m³ · n³; в) m³ – n³;

14) четвертим степенем добутку чисел x та y:

а) x⁴ · y⁴; б) (xy)⁴; в) (x + y)⁴;

15) добутком шостих степенів чисел 2 та x:

а) (2x)⁶; б) 2⁶ + x⁶; в) 2⁶ · x⁶.

3. Записати (1–16):

1) квадрат суми чисел m і p;

2) квадрат різниці чисел a і c;

3) квадрат добутку чисел m і n;

4) квадрат частки чисел z і c;

5) куб суми чисел a і c;

6) куб різниці чисел x і z;

7) шостий степінь суми чисел b і 8;

8) четвертий степінь добутку чисел 3 і с;

9) різницю квадратів чисел m і n;

10) суму квадратів чисел m і n;

11) різницю кубів чисел x і z;

12) суму кубів чисел x і z;

13) десятий степінь добутку чисел 2 і a;

14) восьмий степінь добутку чисел a і c;

15) п’ятий степінь добутку чисел 2a і c;

16) добуток п’ятих степенів чисел m і n.