2. Рівносильні перетворення цілих рівнянь із двома змінними

Рівносильними рівняннями з двома змінними називають рівняння, які мають одні й ті ж розв’язки або не мають розв’язків.

Рівносильними перетвореннями рівняння з двома змінними називають заміну рівняння рівносильним йому рівнянням.

Основні правила рівносильних перетворень цілих рівнянь із двома змінними:

• якщо виконати тотожні перетворення в одній чи обох частинах рівняння, то воно перетвориться у рівносильне йому рівняння (наприклад, розкрити дужки, звести подібні доданки тощо);

• якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини в іншу, змінивши його знак на протилежний, то рівняння перетвориться у рівносильне йому рівняння.

Приклад.

Якщо у рівнянні 7x + 2y = 12 перенести доданок 7x у праву частину, змінивши його знак, то одержимо рівняння 2y = –7x + 12, рівносильне даному.

Якщо обидві частини рівняння з двома змінними помножити або поділити на одне й те ж число, відмінне від нуля, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

Приклади.

1. Якщо поділити на 2 обидві частини рівняння 2y = – 7x + 12, то одержимо рівняння y = –3,5x + 6, рівносильне даному.

2. Якщо помножити на 3 обидві частини рівняння , то одержимо рівняння x + 3y = 15, рівносильне даному.

Послідовне виконання рівносильних перетворень рівняння з двома змінними в багатьох випадках дозволяє виразити одну змінну через іншу (відокремити змінні), тобто розмістити їх у різних частинах рівняння.

Приклад.

Щоб виразити з рівняння 3x + 2y = 5 змінну y через змінну x, потрібно послідовно застосувати правила рівносильних перетворень: перенесення доданка (2y = –3x + 5), ділення на число, відмінне від нуля .

3. Графік рівняння з двома змінними

Для наочного представлення розв’язків рівнянь із двома змінними їх зображують точками координатної площини.

Кожна пара чисел, яка є розв’язком рівняння зі змінними x та y, зображається на координатній площині точкою, абсцисою якої є значення x, а ординатою — значення y.

Рис. 1	Рис. 2	Рис. 3	Рис. 4

Приклади.

1. На рисунку 1 зображено деякі розв’язки рівняння x + y = 5. Відповідно точка А зображає розв’язок (6; –1) (6 + (–1) = 5; 5 = 5), точка В — розв’язок (5; 0), точка D — розв’язок (3; 2), точка M — розв’язок (0; 5). Очевидно, якби ми зобразили всі розв’язки рівняння x + y = 5, то вони утворили б пряму.

2. На рисунку 2 зображено сім розв’язків рівняння x² – y = 0: точка О зображає розв’язок (0; 0) (0² – 0 = 0; 0 = 0), точка В — розв’язок (1; 1), точка С — розв’язок (2; 4), точка С₁ — розв’язок (–2; 4), точка D — розв’язок (3; 9), точка D₁ — розв’язок (–3; 9).

3. На рисунку 3 зображено точки А(4; 0), В(0; 4),С(–4; 0) і D(0; –4), які є розв’язками рівняння x² + y² = 16, у яких одне зі значень — x чи y — дорівнює 0.

4. На рисунку 4 зображено точками 9 розв’язків рівняння x – y = 0, розв’яз­ками якого є пари рівних чисел: А(–4; –4), A₁(–3; –3), A₂(–2; –2), A₃(–1; –1), O(0; 0), A₄(1; 1), A₅(2; 2), A₆(3; 3), A₇(4; 4).

Графіком рівняння з двома змінними називають множину точок площини, які зображають усі розв’язки рівняння.

Рівняння, які не мають розв’язків, не мають і графіка.

Графіком рівняння 0x + 0y = 0, розв’язком якого є будь-яка пара чисел, є уся координатна площина.

Графіками рівнянь із двома змінними можуть бути як відомі з геометрії фігури (наприклад, пряма, коло), так і фігури, які вивчатимуться пізніше (наприклад, парабола, гіпербола).

Якщо рівносильні рівняння мають розв’язки, то їхні графіки збігаються.

Приклади.

1. Графіками рівнянь виду ax + by = c із двома змінними, де x та y — змінні, а, b і c — числа, причому хоча б одне із чисел — a чи b — відмінне від нуля, є пряма. На рисунку 5 зображено графік рівняння x – y = –4.

2. Графіками рівнянь виду x² + y² = a, де a > 0, є кола. На рисунку 6 зображено графік рівняння x² + y² = 16.

3. Графіком рівняння x² – y = 0 є фігура, яка називається параболою (рис. 7).

4. Графіком рівняння xy = 4 є фігура, яка називається гіперболою (рис. 8).

Рис. 5	Рис. 6	Рис. 7	Рис. 8

Якщо у розв’язку рівняння з двома змінними одне з чисел дорівнює 0, то цей розв’язок на графіку рівняння зображується точкою координатної осі.

Якщо значення змінної y дорівнює 0, то розв’язок зображується точкою осі x (для точки з осі x виконується умова y = 0).

Якщо значення змінної x дорівнює 0, то розв’язок зображується точкою осі y (для точки з осі y виконується умова x = 0).

Приклади.

1. Точками графіка рівняння x – y = –4 на осях є (–4; 0) і (0; 4) (рис. 5).

2. Рівняння x² + y² = 16 (рис. 6) має чотири розв’язки, в яких значення однієї зі змінних дорівнює 0.

3. Рівняння xy = 1 не має розв’язків, в яких одне зі значень змінної дорівнює 0.

За графіком рівняння можна встановлювати, чи є пара чисел розв’язком рівняння та знаходити розв’язок за значенням однієї зі змінних.

П риклади.

На рисунку 9 зображено графік рівняння 2x + y = 4.

За координатами точок, зображених на рисунку, можна зробити, наприклад, певні висновки про розв’язки рівняння.

1. Пара чисел (1; 3) не є розв’язком рівняння, оскільки точка А(1; 3) не належить графіку рівняння.

2. Пара чисел (1; 2) є розв’язком рівняння, оскільки точка В(1; 2) належить графіку рівняння.

3. Рівняння має два розв’язки, у яких одне зі значень змінної дорівнює 0: (2; 0) і (0; 4).

4. Значенню змінної x = –1 у розв’язку відповідає значення y = 6 (точка D(–1; 6)).

5. Значенню змінної y = –2 у розв’язку відповідає значення x = 3 (точка C(3; –2)).