Високий рівень

1. 1) Подати у вигляді многочлена стандартного вигляду вираз (x – 1)(x + 2)(x + 3) – x³.

2) Знайти многочлен А, при якому рівність (7x²y² – 5x²y – – 3xy² + 4) + A = (4x²y² – 7x²y + 2xy² + 3) – (x²y² – x²y + 2xy²) є тотожністю.

2. Довести, що вираз (a – b)(a⁵ + a⁴b + a³b² + a²b³ + ab⁴ + b⁵) тотожно дорівнює двочлену.

3. Знайти значення змінної х, при яких значення виразів (x – 1)(x + 2) і х² рівні.

№140. Варіант 2

Середній рівень

1. Подати вираз у вигляді многочлена стандартного вигляду:

а) 11a² + (4a² – 3); б) –11a – (9a – 3); в) (c – 3)(c + 5).

2. Спростити вираз a(3a + 2) – 2a і знайти його значення, якщо а = –5.

3. Розв’язати рівняння (x – 2)(x + 1) – x² = 7.

Достатній рівень

1. Подати вираз у вигляді многочлена стандартного вигляду:

а) (a² + a – 2)(a + 3) – a³; б) c(3c + 2)(c – 5).

2. Знайти многочлен Р, при якому рівність (3а²b² – 10аb² + аb ) – – Р = 4а²b² – 2аb²+3аb є тотожністю.

3. Розв’язати задачу складанням рівняння.

10* А. Капіносов. Алгебра. 7 кл. Сист. Курс

Якщо одну сторону квадрата збільшити на 2 м, а іншу зменшити на 3 м, то площа одержаного прямокутника буде меншою від площі даного квадрата на 12 м². Знайти сторону квадрата.

Високий рівень

1. 1) Подати у вигляді многочлена стандартного вигляду вираз (x + 1)(x – 2)(x + 3) – x³.

2) Знайти многочлен А, при якому рівність A – (7a² – 5ab + b²) = = (2a² – ab + 2b²) – (7a² + 3ab – 4b²) є тотожністю.

2. Довести, що вираз (a + b)(a⁵ – a⁴b + a³b² – a²b³ + ab⁴ – b⁵ тотожно дорівнює двочлену.

3. Знайти значення змінної х, при яких значеннях виразів (x + 1)(x – 2) і х² рівні.

№141. Варіант 3

Середній рівень

1. Подати вираз у вигляді многочлена стандартного вигляду:

а) 9a² + (4 – 5a²); б) –11c – (2c + 5); в) (a – 4)(a + 7).

2. Спростити вираз b(4b + 3) – 3b і знайти його значення, якщо b = 5.

3. Розв’язати рівняння (x – 5)(x + 4) – x² = 12.

Достатній рівень

1. Подати вираз у вигляді многочлена стандартного вигляду:

а) (a³ –2a + 4)(a + 1) – a⁴; б) c(3c + 2)(c – 4).

2. Довести, що значення виразу (2a² – 0,7a + 3,4) + (9a² – 0,6a + 2,1) – – (11a² – 1,3a + 5,2) не залежить від значення змінної.

3. Знайти три послідовних натуральних числа, якщо відомо, що квадрат найменшого з них на 23 менший від добутку двох інших.

Високий рівень

1. 1) Подати у вигляді многочлена стандартного вигляду вираз .

2) Довести, що добуток двох середніх з чотирьох послідовних цілих чисел на 2 більший від добутку двох крайніх із цих чисел.

2. Довести, що добуток (a – 3)(a⁴ + 3a³ + 9a² + 27a + 81) дорівнює двочлену.

3. Розв’язати рівняння (3x + 2)(x – 4) = 3x².

№142. Варіант 4

Середній рівень

1. Подати вираз у вигляді многочлена стандартного вигляду:

а) 6b² + (4b² – 3); б) –9c – (4c – 3); в) (a – 5)(a + 6).

2. Спростити вираз c(5c – 2) + 2c і знайти його значення, якщо с = –3.

3. Розв’язати рівняння (x – 3)(x + 2) – x² = 4.

Достатній рівень

1. Подати вираз у вигляді многочлена стандартного вигляду:

а) (a³ – 2a + 4)(a + 1) – a⁴; б) c(3c + 2)(c – 4).

2. Довести, що значення виразу (5a² – 0,4a + 4,1) – (6,5a² + 0,7a – 3,9) + + (1,5a² + 1,1a – 3) не залежить від значення змінної.

3. Знайти три послідовних натуральних числа, якщо відомо, що квадрат найбільшого з них на 31 більший від добутку двох інших.

Високий рівень

1. 1) Подати у вигляді многочлена стандартного вигляду вираз .

2) Добуток двох послідовних цілих чисел на 38 менший від добутку наступних двох послідовних цілих чисел. Визначити ці числа.

2. Довести, що добуток (a – 2)(a⁵ + 2a⁴ + 4a³ + 8a² + 16a + 32) дорівнює двочлену.

3. Розв’язати рівняння (2x + 1)(x – 1) = 2x².

ТЕМА 7. ФОРМУЛИ СКОРОЧЕНОГО МНОЖЕННЯ

Виклад теорії

1. Добуток різниці двох виразів і їх суми

Добуток різниці двох виразів і їх суми дорівнює різниці квадратів цих виразів.

(a – b) · (a + b) = a² – b².

Приклади.

1. (x – 5)(x + 5) = x² – 5² = x² – 25.

2. (2a – b³)(2a + b³) = (2a)² – (b³)² = 4a² – b⁶.

Доведення

(a – b) · (a + b) = a² + ab – ab – b² = a² – b².

2. Квадрат суми і квадрат різниці двох виразів

Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого та другого виразів плюс квадрат другого виразу:

(a + b)² = a² + 2ab + b²,

(a + b)² = a² + b² + 2ab.

Приклади.

1. (a + 5)² = a² + 2 · a · 5 + 5² = a² + 10a + 25.

2. (2a + b³)² = (2a)² + 2 · 2a · b³ + (b³)² = 4a² + 4ab³ + b⁶.

3. (a + 7)² = a² + 14a + 49.

Доведення

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².

Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого та другого виразів плюс квадрат другого виразу:

(a – b)² = a² – 2ab + b²,

(a – b)² = a² + b² – 2ab.

Приклади.

1. (a – 3)² = a² – 2 · a · 3 + 3² = a² – 6a + 9.

2. (3a – 4b)² = (3a)² – 2 · 3a · 4b + (4b)² = 9a² – 24ab + 16b².

3. (a – 4)² = a² + 16 – 8a.

Доведення

(a – b)² = (a – b)(a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².

Початкове вивчення теорії

Навчальні завдання

1. Добуток різниці двох виразів і їх суми

№143. 

1. 1) Назвати дію, яку виконують останньою при обчисленні значення виразу (a – c)(a + c).

2) Серед виразів а)–е) вказати три, які є добутком різниці двох виразів та їх суми:

а) (a – 3)(a – 3); б) (a – 3)(a + 3); в) (3a – 4)(3a + 4);

г) (3a + 4)(3a + 4); д) (100 + с²)(100 + с²); е) (100 – с²)(100 + с²).

3) Якому чотиричлену дорівнює добуток (a – b)(a + b) за правилом множення многочлена на многочлен?

а) a² + аb + ab + b²; б) a² – аb – ab – b²; в) a² + аb – ab – b².

4) Якому з поданих двочленів а)–в) дорівнює добуток (a – b)(a + b) після зведення подібних членів?

а) a² + b²; б) b² – a²; в) a² – b².

5) Добуток різниці двох виразів і їх суми дорівнює …

а) сумі квадратів цих виразів;

б) квадрату різниці цих виразів;

в) різниці квадратів цих виразів.

6) Доповнити запис.

(a – b)(a + b) = ______________________.

2. Вказати правильну відповідь:

1) (a – m)(a + m) = …:

а) a – m; б) (a – m)² в) a² – m²;

2) (b – c)(b + c) = …:

а) b² + c²; б) c²– b² ; в) b² – c²;

3) (a + b)(a – b) = …:

а) a² + b²; б) a²– b² ; в) b² – a²;

4) (a – 5)(a + 5) = …:

а) a² – 5; б) a²+ 25; в) a² – 25;

5) (3a – 2)(3a + 2) = …:

а) 3a² – 4; б) 9a² – 4 ; в) 9a² – 2;

6) (a³ – 5)(a³ + 5) = …:

а) a³ – 25; б) a⁶ – 25; в) a⁶ – 5;

7) (a¹⁰ + 7)(a¹⁰ – 7) = …:

а) a¹⁰ – 49; б) a²⁰ + 49; в) a²⁰ – 49;

8) ((a + b) – c)((a + b) + c)= …:

а) (a + b)² + c²; б) (a + b) – c²; в) (a + b)² – c².

3. Перетворити у многочлен стандартного вигляду:

1) (a – n)(a + n); 2) (c – 2)(c + 2);

3) (a + 4)(a – 4); 4) (a² – 3)(a² + 3);

5) (4b + 3)(4b – 3); 6) (a⁴ – 1)(a⁴ + 1).

№144. 

Серед виразів а)–в) вказати той, який тотожно дорівнює добутку:

1) (aⁿ – 1)(aⁿ + 1) = …:

а)  – 1; б)  + 1; в) aⁿ⁺² – 1;

2) (xⁿ – 1)(xⁿ + 1) = …:

а) x⁴ⁿ – 1; б) x²ⁿ – 1; в) x²ⁿ + 1;

3) (a^m – b)(a^m + b) = …:

а) a^2m – b; б) a^2m – b²; в) a^2m + b²;

4) (x^m – bⁿ)(x^m + bⁿ) = …:

а) x^2m – bⁿ; б) x^2m – b²ⁿ; в) x^2m + b²ⁿ;

5) (aⁿ – 3)(aⁿ + 3) = …:

а) a²ⁿ – 3; б) a²ⁿ + 9; в) a²ⁿ – 9.

Перетворити у многочлен стандартного вигляду:

6) (cⁿ + 1)(cⁿ – 1); 7) (y^m – 1)(y^m + 1);

8) (aⁿ + b^m)(aⁿ – b^m); 9) (aⁿ – 5)(aⁿ + 5);

10) (a²ⁿ – 1)(a²ⁿ + 1); 11) (c³ⁿ + 2)(c³ⁿ – 2).