Високий рівень

1. 1) Замінити А многочленом, щоб виконувалась рівність (5х²у² – – 5х²у – 3ху² + 4) + А = (4х²у² – 7х²у + 2ху² + 3) – (х²у² – х²у + 2ху²).

2) Подати у вигляді многочлена вираз + .

2. Довести, що сума двох парних послідовних чисел не ділиться на 4.

3. Довести, що різниця двоцифрового числа а і двоцифрового числа b, записаного цими ж цифрами, але в зворотному порядку (a > b) ділиться на 9.

Тема 6. Множення одночлена на многочлен та многочлена на многочлен Виклад теорії

1. Множення одночлена на многочлен

Множення одночлена на многочлен виконують на основі розподільного закону множення відносно додавання і віднімання:

a · (b + c) = a · b + a · c,

a · (b – c) = a · b – a · c.

Щоб помножити одночлен на многочлен, потрібно:

• помножити одночлен на кожний член многочлена;

• отримані добутки додати (алгебраїчна сума).

Приклади.

1. 5 · (a – 4) = 5 · a – 5 · 4 = 5a – 20.

2. x · (4x + 3) = x · 4x + x · 3 = 4x² + 3x.

3. –5b² · (2b⁴ – b + 4) = –5b² · 2b⁴ – 5b² · (–b) – 5b² · 4 = –10b⁶ + 5b³ – 20b².

2. Множення многочлена на многочлен

При множенні многочлена на многочлен кожний член першого многочлена множать на другий многочлен, використовуючи правило множення одночлена на многочлен, і знайдені добутки додають (алгебраїчна сума).

Приклади.

1. (a + b) · (c + d) = a · (c + d) + b · (c + d) = ac + ad + bc + bd.

2. (a + b) · (c + d + m) = a · (c + d + m) + b · (c + d + m) = ac + ad + am + bc +  + bd + bm.

Щоб помножити многочлен на многочлен, потрібно:

• помножити кожний член першого многочлена на кожний член другого многочлена;

• отримані добутки додати (алгебраїчна сума);

• звести подібні доданки (якщо вони є).

Приклади.

1. (a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd.

2. (a – b) · (c – d) = a · c + a · (–d) + (–b) · c + (–b) · (–d) = ac – ad – bc + bd.

3. (x² + 3) · (x – 2) = x³ – 2x² + 3x – 6.

Щоб помножити три многочлени, потрібно:

• перемножити два многочлени;

• в одержаному многочлені звести подібні доданки (якщо вони є);

• помножити одержаний многочлен на третій з даних;

• звести подібні доданки (якщо вони є).

Приклад.

(x + 1)(x + 2)(x + 3) = (x² + 2x + x + 2)(x + 3) = (x² + 3x + 2)(x + 3) =  = (x + 3)(x² + 3x + 2) = x³ + 3x² + 2x + 3x² + 9x + 6 = x³ + 6x² + 11x + 6.

Початкове вивчення теорії Навчальні завдання

1. Множення одночлена на многочлен

№125. 

1. 1) Який з наведених виразів є добутком одночлена й многочлена?

а) а + (a² + 4); б) ; в)  .

2) Який з наведених виразів є добутком одночлена і тричлена?

а) ; б) а² + 5a + 2; в) .

3) Щоб помножити одночлен на многочлен, потрібно одночлен помножити на …

а) перший член многочлена й додати до інших членів многочлена;

б) кожний член многочлена й одержані добутки додати.

4) На основі якого закону (властивості) виконують множення одночлена на многочлен?

Доповнити запис розподільного закону множення відносно...

5) додавання а(b + с) = ____________;

6) віднімання а(b – с) = ____________.

2. Серед виразів а)–е) вказати вираз, який дорівнює добутку:

1) 4(b + 5) = …:

а) 20b; б) 4b + 5; в) 4b + 20;

2) 3(c – 6) = …:

а) 3c + 18; б) 3c – 18; в) 3c – 6;

3) –2(x + 5) = …:

а) –2x + 10; б) –2x – 10; в) –2x + 5;

4) a(a + 4) = …:

а) 2a + 4; б) 2a + 4a; в) a² + 4a;

5) a(a² + 1) = …:

а) a³ + 1; б) a³ + a; в) a² + a;

6) a(a³ – 1) = …:

а) a⁴ – a; б) a⁴ + a; в) a⁴ – 1.

3. Виконати множення одночлена на многочлен:

1) 7(b + 5); 2) 4(a – 2);

3) –7(a + 3); 4) a(a + 6);

5) b(b² + 3); 6) a(a⁴ – 1);

7) x(x³ + x² – x + 1); 8) a²(a³ + a⁵ + 1);

9) c⁴(c¹⁰ + c²⁰ + 2).

№126*. 

Серед виразів а)–в) вказати вираз, який дорівнює добутку (1–8):

1) aⁿ(a² + 1) = …:

а) a²ⁿ + aⁿ; б) aⁿ⁺² + aⁿ; в) aⁿ⁺² + 1;

2) bⁿ(b + 3) = …:

а) bⁿ⁺¹ + 3; б) bⁿ + 3bⁿ; в) bⁿ⁺¹ + 3bⁿ;

3) a⁴(aⁿ + 1) = …:

а) a⁴ⁿ + a⁴; б) aⁿ⁺⁴ + a⁴; в) aⁿ⁺⁴ + 1;

4) aⁿ(a^m + b) = …:

а) a^n+m + b; б) a^n+m + aⁿb; в) a^nm + aⁿb;

5) a³ⁿ(aⁿ + 1) = …:

а)  ; б) a⁴ⁿ + 1; в) a⁴ⁿ + a³ⁿ;

6) aⁿ(aⁿ + 2) = …:

а) a²ⁿ + 2aⁿ; б) a²ⁿ + 2; в)  ;

7) a(a^n–1 – 3) = …:

а) a^n–1 – 3a; б) aⁿ – 3; в) aⁿ – 3a;

8) x³(x^n–3 + 4) = …:

а) x^3(n–3) + 4x³; б) xⁿ + 4; в) xⁿ + 4x³.

Виконати множення:

9) a(a³ + 1); 10) a⁷(aⁿ – 1); 11) aⁿ(a^k + 2); 12) a⁴ⁿ(aⁿ + 1);

13) bⁿ(bⁿ + 5); 14) aⁿ(aⁿ + 3); 15) a(a^n–1 – 2); 16) a⁵(a^n–5 + 9).