Доведення

(a – b)(a² + ab + b²) = a(a² + ab + b²) – b(a² + ab + b²) =  = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³.

2. Формула суми кубів

Тричлени a² + b² – ab і a² – ab + b² називають неповним квадратом двочлена a – b.

Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів і неповного квадрата їх різниці:

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²).

Приклади.

1. a³ + 2³ = (a + 2)(a² – 2a + 4).

2. c³ + 27 = c³ + 3³ = (c + 3)(c² – 3c + 9).

3. 8a³ + 1 = (2a)³ + 1³ = (2a + 1)(4a² – 2a + 1).

4. a²¹ + b⁶ = (a⁷)³ + (b²)³ = (a⁷ + b²)(a¹⁴ – a⁷b² + b⁴).

Доведення

(a + b)(a² – ab + b²) = a(a² – ab + b²) + b(a² – ab + b²) =  = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³.

Початкове вивчення теорії

Навчальні завдання

1. Формула різниці кубів

№199. 

1. 1) Яка спільна назва у виразів: а³ – с³; а³ – 10³; (4а)³ – b³; (а⁷)³ – (b²)³; (3а + 2)³ – (2a + 1)³?

2) Яка спільна назва у виразів: а² + b² + ab; а² + c² + ac; x² + xy + y²; а² + 25 + 5а?

а) Повний квадрат суми виразів a і b; б) неповний квадрат суми виразів a і b; в) неповний квадрат різниці виразів a і b.

3) Який з наведених многочленів а)–в) є неповним квадратом двочлена а + b ?

а) а² + b²; б) а² + b² + 2ab; в) а² + b² + ab.

4) а³ – с³ = …:

а) (а – с)(а² – 2aс + с² ); б) (а – с)(а² + aс + с² );

в) (а – с)(а² + 2aс + с²).

5) Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку …

а) суми цих виразів та неповного квадрата різниці; б) різниці цих виразів і їх суми; в) різниці цих виразів і неповного квадрата суми.

2. Який з наведених виразів а)–в) є розкладом на множники виразу:

1) а³ – 2³ = …:

а) (а – 2)(а + 2); б) (а – 2)(а² + 4a+ 4); в) (а – 2)(а² + 2a + 4).

2) а³ – 125 = a³ – 5³ = …:

а) (а – 5)(а + 5); б) (а – 5)(а² – 5a+ 25); в) (а – 5)(а² + 5a + 25).

3) x⁹ – 27 = (x³)³ – 3³ = …:

а) (x³ – 3)(x⁶ + 6x³ + 9); б) (x³ – 3)(x⁶ + 3x³ + 9); в) (x³ – 3)(x⁶ – 6x³ + 9).

4) x³ – 8y³ = x³ – (2y)³ = …:

а) (x + 2y)(x² – 2xy + 4y²); б) (x³ – 2y)(x⁶ + 2x³y + 4y²); в) (x – 2y)(x² + 2xy + 4y²).

5) (а + b)³ – c³ = …:

а) (а + b – с)((а + b)² + c(a + b) + c²); б) (а + b – с)((а + b)² + 2c(a + b) + c²); в) (а + b – с)((а + b)² – c(a + b) + c²).

3. Подати у вигляді різниці кубів вираз:

1) а³ – 8. 2) b³ – 0,027.

3) 64а³ – c³. 4) а⁶ – 27.

5) 8а³ – b⁹.

Розкласти на множники, використавши формулу різниці кубів двох виразів:

6) x³ – 4³. 7) z³ – 27.

8) a³ – 125b³. 9) x¹⁵ – 1.

10) (ab)³ – 8.

2. Формула суми кубів

№200. 

1. 1) Яка спільна назва у виразів: а³ + с³; а³ + 5³; (2а)³+ 5³; (а⁴)³ + 10³; (2а + 1)³ + b³?

2) Яка спільна назва у виразів: а² + b² – ab; а² + c² – ac; x² – xy + y²; а² + 25 – 5а?

а) Повний квадрат різниці виразів a і b; б) неповний квадрат суми виразів a і b; в) неповний квадрат різниці виразів a і b.

3) а³ + с³ = …:

а) (а + с)(а² – 2aс+ с²); б) (а + с) (а² – aс+ с²);

в) (а – с)(а² + 2aс+ с²).

4) Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів та …

а) неповного квадрата їх суми; б) неповного квадрата їх різниці; в) повного квадрата їх різниці.

2. Який з наведених виразів а)–в) є розкладом на множники виразу:

1) а³ + 5³ = …:

а) (а + 5)(а – 5); б) (а + 5)(а² – 10a + 25); в) (а + 5)(а² – 5a + 25).

2) 1 + x³ = …:

а) (1 + x)(1 + x + x²); б) (1 + x)(1 – 2x + x²); в) (1 + x)(1 – x + x²).

3) a¹⁵ + c³ = …:

а) (a⁵ + c)(a¹⁰ + a⁵c + c²); б) (a⁵ + c)(a¹⁰ – 2a⁵c + c²); в) (a⁵ + c)(a¹⁰ – a⁵c + c²).

4) x⁹ + 8y³ = (x³)³ + (2y)³ = …:

а)(x³ + 2y)(x⁶ + 2x³y + 4y²); б) (x³ + 2y)(x⁶ – 2x³y + 4y²); в)(x³ + 2y)(x⁶ – 4x³y + 4y²).

5) (а + b)³ + c³ = …:

а) (а + b + с) ((а + b)² + c(a + b) + c²); б) (а + b + с) ((а + b)² – 2c(a + b) + c²); в) (а + b + с) ((а + b)² – c(a + b) + c²).

3. Подати у вигляді суми кубів вираз:

1) а³ + 27. 2) a³ + 0,008.

3) 8а³ + b³. 4) а¹² + 1000.

5) 27а³ + b¹⁵.

Розкласти на множники, використавши формулу суми кубів двох виразів:

6) x³ + 4³. 7) 27 + m³.

8) 125x³ + y³. 9) m¹⁵ + 1.

10) (xy)³ + 8.