3. Тотожні перетворення цілих виразів

Якщо рівність, яку утворюють два цілі вирази, перетворюється у правильну числову рівність при будь-якому значенні змінної або будь-яких наборах значень змінних, то її називають тотожністю. Вирази, які утворюють тотожність, називають тотожно рівними.

Приклади.

1. За розподільною властивістю множення рівність 3(a + 2) = 3a + 6 перетворюється у правильну числову рівність при будь-яких дійсних значеннях змінної a. Отже, рівність 3(a + 2) = 3a + 6 є тотожністю.

2. Рівність 2(x + y) = 2x + 2y при будь-яких значеннях змінної x і будь-яких значеннях змінної y перетворюється у правильну числову рівність. Наприклад, якщо x = 5 і y = 3. Матимемо: 2 · (5 + 3) = 2 · 5 + 2 · 3; 2 · 8 = 10 + 6; 16 = 16.

3. Рівність 0 · x + 5 = 5 є тотожністю, а вирази 0x + 5 і 5 тотожно рівними, оскільки 0 · x = 0 при будь-якому дійсному числі x, і 0 + 5 = 5.

4. За основними властивостями множення і додавання утворюють тотожність і є тотожно рівними вирази 0 · a + c і c.

Тотожно рівними можуть бути:

• два цілі вирази з однаковими змінними;

• цілий вираз зі змінною і число;

• два цілі вирази, що відрізняються змінними.

Приклади.

1. Рівність 3(а + 2) = 3a + 6 є тотожністю на основі розподільного закону множення. При заміні а будь-яким дійсним числом утворюється правильна числова рівність.

Наприклад, якщо а = 2, то рівність 3(2 + 2) = 3  2 + 6 є правильною (3  4 = 6 + 6; 12 = 12).

2. Тотожно рівними є вирази 7а – 14b і 7(а – 2b). При будь-яких значеннях змінних а і b рівність 7a – 14b = 7(а – 2b) перетворюється в правильну числову рівність.

3. Вираз 0  а +5 зі змінною a тотожно рівний числу 5.

4. Вираз 0  а + 0  b зі змінними a і b тотожно рівний числу 0.

5. Рівність 0х + 2у = 2у є тотожністю, а вираз 0х + 2у зі змінними x та y тотожно рівний виразу 2у зі змінною y.

Початкове вивчення теорії Навчальні завдання

1. Поняття про вирази

№8.

1. 1) Яка спільна назва у записів 5; 0,(7); х; 5а; а + 3; (х + у)  у?

2) Як називаються записи дій, які складаються з чисел, позначених за допомогою цифр чи букв?

3) Чи є виразами записи 0,(3); ; –9; а; у?

2. Серед виразів а)–е) вказати три, які…

1) не містять дії:

а) 8; б) 4а; в) –0,4; г) ; д) х; е) а²;

2) містять дві дії:

а) ab + 3; б) аbc + 5; в) (x + y)  4; г) 2a; д) ; е) 4x + 3;

3) містять три дії:

а) 2х + 3; б) 2х + 5у; в) ; г) ; д) а² + b²; е) 4a + 1;

3. Записати три вирази, які…

1) не містять знака дії;

2) містять букву й один знак дії;

3) містять дві різні букви і два знаки дії;

4) містять три дії.

№9.

1. 1) Яка спільна назва у записів 4; –9; 0,(3); 4 + 9; 4  9 – 3; ?

2) Як називають вирази, що містять числа, позначені тільки за допомогою цифр, і не містять буквених позначень чисел?

а) Цифровими; б) числовими; в) дійсними.

3) Чи вважають числовими виразами записи окремих чисел за допомогою цифр?

4) Як називають число, що одержують у результаті послідовного виконання всіх дій у числовому виразі?

5) Чим є число 7 для виразу 2  3 + 1?

6) Доповнити записи.

У числових виразах, що містять дії додавання, множення, віднімання і ділення та не містять дужок, спочатку виконують дії ____________________, а потім ____________________.

7) У виразі, що містить дві дії — додавання і множення — спочатку виконують дію множення.

8) У якому випадку а)–в) числовий вираз, складений за допомогою дій додавання, множення, віднімання і ділення, не має змісту (смислу)?

а) Коли він містить множення на число 0;

б) коли він містить ділення числа 0 на деяке дійсне число, відмінне від 0;

в) коли він містить ділення на число 0.

2. Серед виразів а)–в) вказати той, у якому дії виконують у порядку:

1) додавання; множення:

а) 7 + 2  3; б) 4  (8 + 7); в) 6  9 + 1.

2) множення; віднімання:

а) ; б) (7 – 0,1)  2; в) 7 – 0,1  2.

Вказати число, що є значенням виразу:

3) 5 + 2  3 = ...

а) 21; б) 11; в) 10.

4) 0,1  (7 + 8) = ...

а) 150; б) 1,5; в) 8,7.

5) 7 – 4  0,2 = ...

а) 0,6; б) –1; в) 6,2.

6) Серед виразів а)–е) вказати три, що не мають смислу (змісту)?

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

3. 1) Записати три вирази, які не мають смислу.

Знайти значення числового виразу…

2) 18 – 3  0,2; 3) 19  (0,3 + 0,2);

4) –27 : (5 – 5,9); 5) ;

6) .

№10.

1. 1) Як називають вираз, що містить хоча б одну букву?

2) Як називають у виразах букви, що позначають числа?

3) Як називають дійсні числа, які підставляють замість змінної у буквений вираз?

а) Значеннями виразу; б) значеннями змінної.

4) У який вираз перетворюється буквений вираз після підставлення замість букв їх числових значень?

5) Як називають число, що одержують у результаті виконання усіх дій після заміни букв числами?

Вказати, скільки змінних містить вираз:

6) 4 + 3  2; 7) 3а + 2;

8) 3а² + а – 3; 9) (4х – 3)  (х + 2);

10) (4а – 3)  (b + 2); 11) ab + 2c;

12) (m + 4)  (k + c);

2. Серед виразів а)–е) вказати:

1) три вирази з однією змінною:

а) 2a + b; б) х² + 5х – 4; в) (a – 3)(b + 4);

г) 2с + 3; д) 3х + 4у – 7; е) (a – 3)(а + 4);

2) три вирази з двома змінними:

а) х² + 7х – 3; б) m(m + n) – 3; в) (a + 3)(а + 5);

г) abc + 1; д) 3х + 3у – 2; е) a + 2аb + 3b + 7;

3) три вирази з трьома змінними:

а) хyz – 3; б) 5x – 4x² + x³ – 7; в) (a + 2)(b – 2)(c + 3);

г) m(n + 1)(p + 2); д) х + xy + 3y – 4; е) a³ + 2а² + a – 4.

Вказати вираз, у який перетворюється вираз:

4) 2а + 5, якщо значення змінної дорівнює 3:

а) 23 + 5; б) 2  3 + 5.

5) 3а + 4b, якщо а = 10 і b = 100:

а) 3  10 + 4  100; б) 30 + 400.

Знайти числове значення виразу:

6) 4х – 5, якщо х = 7:

а) 42; б) 23.

7) 3а + 7, якщо а = –9:

а) –32; б) –20.

8) 2а + 5b, якщо a = –3 і b = –4:

а) –77; б) –26; в) 26.

3. Записати три вирази:

1) зі змінною х;

2) зі змінними х та у;

3) зі змінними а і b.

Знайти числове значення виразу:

4) 5х – 3, якщо х = 2; х = 3; х = 0;

5) –3а + 4, якщо а = 4; а = –5; а = 0;

6) 5а – 7b, якщо a = 2 і b = 3; a = 0 і b = –4; a = –3 і b = 0.

Вказати послідовність виконання дій при обчисленні числових значень виразу:

7) 7 – 5a; 8) (a – 2)(а + 6); 9) 7(a – 3) +b;

10) 3а + 4b; 11) m + n (k – p); 12) (m + n) k – p.

№11.

1. Вказати у формулах 1–6...

а) вираз;

б) змінну (змінні) у виразі;

в) букву, що позначає вираз:

1) у = 5х + 2; 2) S = 10  t; 3) S = v  t;

4) m = 2n + 1; 5) z = 2x + 3y + 1; 6) y = 4m + 3n – 5.

2. Вказати формулу, за якою обчислюють:

1) площу прямокутника S зі сторонами а і b:

а) S = 2(а + b); б) S = 2аb; в) S = аb;

2) площу квадрата S зі стороною а:

а) S = 4а; б) S = а²; в) S = 2а;

3) периметр Р квадрата зі стороною а:

а) Р = 4а; б) Р = 2а; в) Р = а²;

4) периметр Р рівностороннього трикутника зі стороною а:

а) Р = 2а; б) Р = 3а; в) Р = 4а.

n — натуральне число. Вказати формулу:

5) парного числа k:

а) k = 2n + 1; б) k = 2n; в) k = 2n – 1;

6) непарного числа p:

а) p = 2n; б) p = 2n – 1; в) p = 4n;

7) числа т, кратного 9:

а) т = 9 + n; б) т = 9n; в) т = 9n – 1;

8) числа с, кратного числам 2 і 3:

а) c = 23n; б) c = 6n; в) c = n + 6.

За формулою у = 3х вказати значення у, якщо:

9) х = 4:

а) 34; б) 12; в) 7;

10) х = –2:

а) 6; б) –32; в) –6;

11) х =  :

а) ; б) ; в) ;

За формулою у = 5х + 2 вказати значення у, якщо:

12) х = 4:

а) 56; б) 22; в) 542;

13) х = –3:

а) –51; б) –17; в) –13;

14) х = 0,1:

а) 7,1; б) 2,5; в) 52.

3. Записати формулу (1–3):

1) парного числа р;

2) числа т, кратного 5;

3) числа с, кратного 7.

4) у = 4х – 3. Обчислити значення у, якщо: х = –9; х =  ; х = 0,2.

5) у = –2х + 5. Обчислити значення у, якщо: х = 6; х =  ; х = –0,4.

№12.

1. Назвати дію, яку слід виконувати першою при знаходженні значення виразу:

1) а  (b + c); 2) m + ab; 3) n – a : c;

4) (а – 2) : (b + 3); 5) (а + 2)(b + 3); 6) а + (b – c)  d.

Назвати дію, яку слід виконувати останньою при знаходженні значення виразу:

7) хy – z; 8) (x – y) z; 9) (a + b)c – d;

10) (а + b)(c – d); 11) m +(n – k) p; 12) (m + n – k)  p.

13) Доповнити запис.

У процесі словесного читання виразів першою називають дію, яку виконують ________________.

2. Серед виразів а)–е) вказати три, у яких останньою виконують...

1) дію додавання:

а) a + b  m; б) (a + b) m; в) 3(a – 2) + 5;

г) 3a + 4; д) (a – b)(а + b); е) .

2) дію віднімання:

а) (a – 2) 3; б) 5 – a  b; в) 3a – 2;

г) (a + 2) 5 – 3; д) (a – 5)(а – 3); е) (5 – a) b.

3) дію множення:

а) a + b  c; б) (a + b)  c; в) ab + c;

г) 3x + 4; д) 5  (а – 3); е) (3x + 4) y.

4) дію ділення:

а) a : (b + с); б) a : b + с; в) a – b : с;

г) x + y : 5; д) (a – b) : (а – c); е) (m + n) : p.

Серед виразів а)– е) вказати три, які називають...

5) сумою:

а) a + bc; б) 5(a + 3); в) 5 : (a + 3);

г) (a + 3)(а + 2); д) а + b; е) 5x + 2.

6) добутком:

а) ab + 1; б) ab; в) 4a – 3;

г) a(а + b); д) 2а + 5; е) 4a.

7) різницею:

а) (x – y)  a; б) x – y; в) 10 – xy;

г) (a – b)(a + b); д) ab – c; е) (a – 2) : (a – 5).

8) часткою:

а) a : b + с; б) a : b; в) a : b – с;

г) a + b : c; д) a : (b – c); е) (a + b) : c.

3. Вказати порядок виконання дій у поданих виразах і прочитати вирази:

1) ab + с; 2) a : b + с; 3) a  (b + с);

4) a : (b + с); 5) (a – b)  с; 6) a – bс;

7) a + bс; 8) (a + b) : (с + d); 9) (a + b)  (с + d).

Записати за допомогою букв, знаків дій і дужок вирази:

10) добуток суми чисел m і n і числа а;

11) добуток числа p і різниці чисел а і с;

12) сума числа а і різниці чисел m і k;

13) різниця числа а і добутку чисел с і d;

14) сума добутку чисел а і b і їх частки;

15) добуток різниці чисел m і n і їх суми.