Функция распределения Стьюдента Fk (t) в зависимости от числа степеней свободы k
t |
Число степеней свободы k |
|||||||
1 |
2 |
5 |
10 |
20 |
50 |
100 |
|
|
0,0 |
0,5000 |
0,5000 |
0,5000 |
0,5000 |
0,5000 |
0,5000 |
0,5000 |
0,5000 |
0,5 |
0,6467 |
0,6667 |
0,6808 |
0,6860 |
0,6887 |
0,6903 |
0,6909 |
0,6915 |
1,0 |
0,7500 |
0,7887 |
0,8184 |
0,8284 |
0,8354 |
0,8388 |
0,8400 |
0,8413 |
1,5 |
0,8128 |
0,8638 |
0,9030 |
0,9178 |
0,9254 |
0,9299 |
0,9314 |
0,9332 |
2,0 |
0,8554 |
0,9082 |
0,9490 |
0,9633 |
0,9704 |
0,9744 |
0,9757 |
0,9772 |
2,5 |
0,8789 |
0,9352 |
0,9728 |
0,9843 |
0,9884 |
0,9921 |
0,9929 |
0,9938 |
3,0 |
0,8976 |
0,9523 |
0,9850 |
0,9933 |
0,9965 |
0,9979 |
0,9983 |
0,9987 |
3,5 |
0,9114 |
0,9636 |
0,9914 |
0,9971 |
0,9989 |
0,9995 |
0,9996 |
0,9998 |
4,0 |
0,9220 |
0,9714 |
0,9948 |
0,9987 |
0,9996 |
0,9999 |
0,9999 |
|
4,5 |
0,9304 |
0,9770 |
0,9968 |
0,9994 |
0,9999 |
|
|
|
5,0 |
0,9372 |
0,9811 |
0,9980 |
0,9997 |
|
|
|
|
Значения плотности вероятности обычно находят по таблицам, но их несложно вычислить, преобразовав формулу (2.33) к следующему виду:
,
и далее пользоваться рекуррентной
формулой Аk + 1 = k/2Ak.
Так, А2 =
/2,
А3 = 2/
и т.д. Некоторые значения плотности
вероятности приведены в табл.2.9.
Последняя графа соответствует нормальному
распределению.
Таблица 2.9
Плотность вероятности распределения Стьюдента fk(t) в зависимости от числа степеней свободы k
t |
Число степеней свободы k |
|||||||
1 |
2 |
5 |
10 |
20 |
50 |
100 |
|
|
0,0 |
0,3183 |
0,3536 |
0,3796 |
0,3891 |
0,3940 |
0,3970 |
0,3979 |
0,3989 |
0,5 |
0,2546 |
0,2962 |
0,3279 |
0,3397 |
0,3458 |
0,3495 |
0,3508 |
0,3521 |
1,0 |
0,1592 |
0,1925 |
0,219 |
0,2304 |
0,2360 |
0,2396 |
0,2408 |
0,2420 |
1,5 |
0,0979 |
0,1141 |
0,1245 |
0,1274 |
0,1286 |
0,1292 |
0,1294 |
0,1295 |
2,0 |
0,0637 |
0,0680 |
0,0651 |
0,0611 |
0,0581 |
0,0558 |
0,0549 |
0,0540 |
2,5 |
0,0439 |
0,0422 |
0,0333 |
0,0269 |
0,0227 |
0,0197 |
0,0186 |
0,0175 |
3,0 |
0,0318 |
0,0274 |
0,0173 |
0,0114 |
0,0080 |
0,0058 |
0,0051 |
0,0044 |
3,5 |
0,0240 |
0,0186 |
0,0092 |
0,0048 |
0,0026 |
0,0015 |
0,0012 |
0,0009 |
4,0 |
0,0187 |
0,0131 |
0,0051 |
0,0020 |
0,0008 |
0,0003 |
0,0002 |
0,0001 |
4,5 |
0,0150 |
0,0095 |
0,0029 |
0,0009 |
0,0003 |
0,0001 |
0,0000 |
0,0000 |
5,0 |
0,0122 |
0,0071 |
0,0018 |
0,0004 |
0,0001 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
Асимметрия распределения Стьюдента равна нулю, а эксцесс отрицательный. Как и в случае нормального закона, для распределения Стьюдента может быть вычислена функция Фk(t) = 2Fk(t) – 1, которая характеризует вероятность q попадания случайной величины в симметричный интервал от –t до +t.
На практике для принятия решений чаще используется противоположный показатель = 1 – q. Можно составить таблицу зависимости от t при различных степенях свободы k. Но гораздо важнее знать обратную функцию: чему равно значение коэффициента t при заданной вероятности и известной степени свободы k (табл.2.10), так как коэффициент t часто используют в качестве критерия принятия решений. Именно такие таблицы с различными вариациями и приводятся в разнообразных справочниках. Например, задана вероятность = 0,05 = 5 % и число степеней свободы k = 15. Из табл.2.10 имеем t = 2,131.
Таблица 2.10