5.5. Основы геостатистики
5.5.1. Вариограмма и ее аппроксимации
В основе геостатистической группы математических моделей лежит гипотеза о том, что случайный результат измерений обусловлен случайным расположением сети наблюдений. При перемещении сети наблюдений результаты измерений будут другие, но сохраняется одна характеристика – средний квадрат разности между результатами измерений на расстоянии h. Это возможно при эргодичном характере пространственной переменной. На основе гипотезы введена вариограмма γ(h) – главная характеристика в геостатистике. Она равна полусумме среднего квадрата разности между результатами измерений при шаге h и выражается формулой (5.4).
Следует отметить, что вариограмма тесно связана со случайными функциями. Сумма вариограммы и ковариации (автокорреляционной функции) равна дисперсии исходных данных:
γ(h) + K(h) = D. (5.25)
График вариограммы зависит от характера дискретности пространственной переменной. Для непрерывных пространственных переменных (например, мощности пласта) вариограмма начинается с нулевой отметки и возрастает до дисперсии исходных данных (рис.5.16). Для дискретных пространственных переменных вариограмма начинается с некоторой величины С (рис.5.17), называемой эффектом самородков, потому что он был вначале установлен на месторождениях золота.
Вариограмма имеет радиус влияния R, который идентичен радиусу автокорреляции в случайной функции. За пределами радиуса влияния вариограмма постоянная и равна дисперсии D, т.е. ее влияние отсутствует. Как упоминалось, радиус R является векторной величиной. В изотропных геологических телах по всем направлениям радиус влияния описывает окружность, за пределами которой влияние вариограммы отсутствует. В анизотропных геологических телах значения радиуса R по разным направлениям столь различны, что напоминают восьмерку.
В пункте с координатой R вариограмма может иметь горизонтальную касательную и плавно переходить в линию дисперсии.
Эмпирическая вариограмма, получаемая на основе дискретных измерений, строится по отдельным точкам и имеет вид ломаной линии (рис.5.18). Чтобы использовать ее для дальнейших вычислений, необходимо выполнить аппроксимацию вариограммы какой-либо теоретической кривой. Вид аппроксимирующей функции определяет вид геостатистической модели. Существует много видов аппроксимирующих функций. Наибольшее распространение получили четыре функции и, соответственно, четыре геостатистические модели.
Первая модель линейная. В ней вариограмма аппроксимируется прямой линией (рис.5.19), что нередко близко к действительности. Во второй модели вариограмма аппроксимируется кубическим полиномом, который не имеет общей касательной с линией дисперсии (рис.5.20). Эта модель лучше всего соответствует действительности. Третья модель (сферическая) также аппроксимируется кубическим полиномом, но он имеет горизонтальную касательную при соприкосновении с линией дисперсии (см. рис.5.16 или рис.5.17). Четвертая модель (модель Де-Вийса) характеризуется тем, что шаг вариограммы откладывается в логарифмическом масштабе, а сама вариограмма представляется в виде прямой линии (рис.5.21).
Выбор варианта аппроксимации носит произвольный характер. Наилучшим вариантом можно считать тот, который дает наименьшую дисперсию отклонений эмпирических значений от теоретических.
