Состав циркона, %

Номер пробы	SiO2	ZrO2	HfO2	Fe2O3	TR2O3
1	32,74	65,27	1,29	0,12	0,23
2	32,74	64,92	1,74	0,04	0,23
3	33,03	65,30	0,50	0,18	0,23
4	32,07	66,45	1,92	0,18	0,02
5	33,65	63,65	1,63	0,15	0,23
Окончание табл.4.16
Номер пробы	SiO2	ZrO2	HfO2	Fe2O3	TR2O3
6	31,34	66,57	1,52	0,18	0,17
7	31,03	67,33	0,51	0,09	0,49
8	31,08	68,36	0,49	0,18	0,05
9	30,96	67,84	0,49	0,09	0,20
10	34,53	63,74	1,59	0,30	0,10
11	34,00	63,58	1,45	0,40	0,23
12	34,40	63,58	1,61	0,16	0,27
13	32,81	63,64	1,50	0,18	0,62
14	31,34	66,57	1,52	0,27	0,17

Предварительно все свойства нормализуем по формуле (2.14). После вычисления матрицы сходства (4.17) стало ясно, что наименьшая мера сходства 0,302 имеется между пробами 5 и 12. Объединим их в кластер и усредним. Далее они выступают как одна проба. Следующая наиболее близкая пара объектов с мерой сходства 0,451 – это объекты 6 и 14. Продолжая объединение проб и кластеров далее, получим следующую последовательность объединения проб:

Мера сходства	Номера объектов
0,302							5	12
0,451							6	14
0,572							1	2
0,648							8	9
0,665							4	6	14
0,672							10	11
0,730						5	12	1	2
1,034						3	5	12	1	2
1,057				4	6	14	3	5	12	1	2
1,118							7	8	9
1,206		4	6	14	3	5	12	1	2	7	8	9
1,401		13	4	6	14	3	5	12	1	2	7	8	9
1,415	10	11	13	4	6	14	3	5	12	1	2	7	8	9

В последней строке все пробы объединились в один кластер. На дендрограмме, построенной по этим данным (рис.4.4), видна последовательность объединения проб. Кроме того, на графике выделяются, по крайней мере, четыре группы проб (четыре типа цирконов по составу) и три пробы (13, 3 и 7), отличающиеся от других проб по составу.

Таким образом, кластерный анализ позволяет выполнить группировку объектов по степени их сходства по множеству свойств. Группировка при кластерном анализе может несколько отличаться от группировки по методу главных компонент, так как в основу этих методов заложены различные критерии. Можно сказать, что кластерный анализ дополняет метод главных компонент и помогает принять более правильное решение при выделении однородных совокупностей. Кроме того, представляет интерес и сама дендрограмма, наглядно характеризующая типизацию объектов по их свойствам.

4.2.4. Распознавание образов

Постановка задачи о распознавании образов. В геологической практике часто необходимо определить принадлежность объекта по множеству свойств к заданной совокупности однородных объектов. Сюда относятся задачи выделения перспективных территорий, оценки рудопроявлений, отнесения руд к какому-либо типу и многие другие. Решение подобных задач основано на приемах распознавания образов.

Образ – это совокупность однородных эталонных объектов с набором свойств. Образ выражается матрицей свойств (4.1), в признаковом пространстве ему соответствует облако точек. В задачах распознавания обычно участвует не менее двух образов, а также испытуемые объекты. Задача распознавания заключается в определении принадлежности каждого испытуемого объекта к тому или иному образу. Распознавание образов наиболее часто используется при поисках месторождений, хотя область его применения гораздо шире.

Пусть имеется n перспективных территорий с заведомо промышленным оруденением определенного типа. Совокупность таких территорий, обладающих множеством свойств, создает образ рудных объектов. Им соответствует матрица свойств

. (4.19)

Далее имеется m заведомо неперспективных территорий, где оруденение отсутствует, – это образ безрудных объектов:

. (4.20)

Наконец, имеются группы из l испытуемых территорий, перспективность которых неизвестна, им соответствует матрица

. (4.21)

У всех объектов должны быть измерены одни и те же величины (например, длина, мощность и т.д.). Цель исследования состоит в определении, к какому образу – рудному или безрудному – относится каждая из испытуемых территорий.

Может быть задано несколько типов рудных объектов и, соответственно, рудных образов. Испытуемые объекты могут быть объединены с безрудными. Иногда рудные объекты делят на две части. Одна часть используется «для обучения», другая – «для экзамена», т.е. для проверки эффективности методики распознавания.

Существует много способов решения задачи распознавания. Последовательность операций по решению задачи распознавания называется решающим правилом или алгоритмом распознавания.

Определение информативных свойств. Распознаванию образов предшествует отбор информативных свойств, чтобы исключить из рассмотрения неинформативные свойства и сократить объем вычислений. Более того, избыток неинформативных свойств ухудшает результаты распознавания образов.

Один из методов определения информативности свойств основан на оценке частот сочетаний качественных свойств рудных объектов, поскольку сочетания свойств более информативны, чем сумма информативностей отдельных свойств. Например, оруденение может появляться при благоприятном сочетании нескольких свойств (при пересечении разрывных нарушений, на контакте интрузивных пород с определенными литологическими типами горных пород и т.д.). В простейшем случае информативность J отдельного свойства i определяется по формуле

, (4.22)

где n – число объектов; k – число свойств; N_ij – частота совместного появления свойства i и свойства j.

Расположив свойства в порядке информативности, можно найти суммарную информативность m свойств:

. (4.23)

Известны приложения рассмотренного приема к определению информативности руководящей фауны.

В алгоритме распознавания образов «Кора-3», предложенного М.М.Бонгардом [15], используются не только двойные, но тройные сочетания свойств.

Пример 4.6. Имеется шесть рудных объектов, у которых измерено пять качественных свойств:

.

Требуется определить информативность свойств.

По формуле (4.22) найдем информативность первого свойства:

Здесь числа в скобках – частота сочетания первого свойства со всеми свойствами (включая первое) в квадрате. Аналогично найдем информативность остальных свойств. В результате получим набор (вектор) информативности всех свойств:

{J} = (0,32   0,57   0,28   0,39   0,53).

Наиболее информативным оказалось второе свойство, далее идут пятое, четвертое, первое и третье свойства. По формуле (4.23) определим суммарную информативность, последовательно добавляя свойства в порядке убывания их информативности:

{J_m} = (0,57   0,78   0,87   0,93   0,97).

Если принять информативность суммы всех свойств за 100 %, то на долю двух важнейших свойств приходится 81 %, а при добавлении третьего свойства она возрастет до 90 %. Для решения задачи распознавания образов можно ограничиться тремя первыми свойствами.

Второй метод определения информативности качественных свойств основан на энтропии свойства j:

, (4.24)

где р_1i и p_2i – частота появления свойства j соответственно на рудных и безрудных объектах.

Чем больше частоты р_1i и p_2i отличаются друг от друга, тем более информативны соответствующие свойства. Пример применения формулы (4.24) приведен в работе [1], где оценена информативность свойств в районе развития медно-никелевых месторождений и выделены территории, наиболее перспективные на поиски этого оруденения (рис.4.5).

Информативность количественных свойств оценивают путем анализа расстояний между облаками точек рудных и безрудных объектов в признаковом пространстве. Информативность свойства j характеризуется квадратом нормированного расстояния между проекциями центров облаков на ось j признакового пространства:

, (4.25)

где и – средние значения свойства j рудных и безрудных объектов.

Дисперсию определяют по формуле

, (4.26)

где n₁ и n₂ – количество соответственно рудных и безрудных объектов; и – дисперсии свойства j тех же объектов.

Чем больше значение J_j, тем более информативным является данное свойство.

Учет зависимости между свойствами может изменить порядок информативности свойств. На основе матриц исходных данных составляют матрицы ковариации для рудных и безрудных объектов. Элементы матриц находят из выражения

. (4.27)

Далее определяют средневзвешенную матрицу ковариации по формуле, аналогичной (4.26). Элементы средневзвешенной матрицы

. (4.28)

Из элементов матрицы составляют систему из k уравнений с неизвестными коэффициентами a₁, a₂, …, а_k, которые находят путем решения этой системы:

, (4.29)

где K_ij – средневзвешенные корреляционные моменты между свойствами объектов (раздельно для рудных и безрудных объектов).

Информативность k количественных свойств выражается квадратом обобщенного расстояния между облаками в признаковом пространстве:

. (4.30)

Отсюда вытекает порядок определения информативности свойств. Вначале по формуле (4.25) отыскивают наиболее информативное свойство. К нему поочередно добавляют каждое из оставшихся свойств, находя наиболее информативную комбинацию из двух свойств по формуле (4.27). Далее добавляют следующее свойство и снова находят наиболее информативное сочетание свойств. Повторяя эти операции, определяют все последующие свойства в ряду информативности. Отбор информативных свойств прекращается, когда дальнейшее их увеличение не приводит к заметному повышению совместной информативности.

Пример 4.7. Имеется 10 рудных и 14 безрудных объектов, у которых изучено пять свойств:

{x} = ; .

Требуется определить информативность свойств.

Найдем средние значения свойств:

;

.

Далее вычислим дисперсии значений свойств:

;

.

По формуле (4.26) рассчитаем дисперсии разности средних значений свойств:

.

По формуле (4.25) найдем квадраты расстояний:

.

Из полученных данных видно, что наибольшей информативностью обладает второе свойство, далее идут третье, четвертое, пятое и первое.

Рассмотрим, как изменится информативность свойств, если учитывать зависимости между ними. Вначале рассчитаем матрицы ковариации свойств рудных и безрудных объектов по формуле (4.27):

;

.

Далее найдем средневзвешенную матрицу по формуле (4.28):

.

Как отмечалось, наиболее информативным является второе свойство, для него ² = 5,52. Будем поочередно добавлять ко второму свойству остальные и вычислять совместную информативность двух свойств. Так, найдем совместную информативность первого и второго свойств. Матрица их ковариации, согласно (4.28), имеет вид

.

Составим систему уравнений (4.29):

Решая систему, найдем ; Совместная информативность первого и второго свойств по формуле (4.30) , что больше, чем их сумма , т.е. информативность двух свойств с учетом зависимости больше, чем без ее учета.

Так же оценивается совместная информативность второго свойства с третьим, четвертым и пятым свойствами. Имеем ; ; ; следовательно, наиболее информативным является сочетание второго и третьего свойств. К этим двум свойствам поочередно добавляют оставшиеся свойства (первое, четвертое и пятое) и по той же методике находят наиболее информативную комбинацию трех, четырех и пяти свойств. В рассматриваемом примере порядок наиболее информативных свойств следующий: второе, третье, первое, пятое и четвертое, т.е. иной, чем без учета зависимости между свойствами. Совместная информативность перечисленных свойств в нарастающем порядке выражается строкой матрицы

,

откуда видно, что для распознавания образа достаточно ограничиться двумя свойствами (вторым и третьим), остальные свойства вносят малый вклад в информативность и могут быть отброшены.

Методы распознавания образов. После отбора информативных свойств можно приступать к распознаванию образов. Методы распознавания образов весьма многочисленны. Их можно разделить на три группы:

 методы, основанные на анализе частоты появления свойств;

 методы, основанные на анализе расстояний между точками объектов в многомерном признаковом пространстве;

 методы, основанные на разделении многомерного признакового пространства на области различной формы, в каждой из которых преобладают объекты одного вида.

В настоящей работе не ставится задача дать обзор различных методов распознавания образов [15], ограничимся лишь примерами алгоритмов в каждой из групп. Следует отметить, что не существует методов, дающих стопроцентный результат распознавания. Хорошим результатом считается уверенное распознавание испытуемых объектов на уровне 75-85 %.

При частотном анализе исходные свойства выражаются нулями и единицами, т.е. одни свойства у объекта есть, другие отсутствуют. В алгоритме «Кора-3» перебираются все двойные и тройные комбинации свойств, которые характерны для одного образа и отсутствуют у другого. Найденные комбинации свойств называются сложными признаками. Для каждого испытуемого объекта определяется количество сложных признаков каждого образа. Испытуемый объект относят к образу рудных или безрудных объектов по большинству «голосов».

Пример 4.8. Имеются шесть рудных, шесть безрудных и три испытуемых объекта, у которых изучены четыре свойства:

; ;

.

Требуется выявить сложные признаки и определить принадлежность каждого испытуемого объекта к образу рудных или безрудных объектов.

Нетрудно установить, что существует 11 сочетаний свойств по два и по три, которые имеются у рудных объектов и отсутствуют у безрудных, и, наоборот, 13 сочетаний свойств типичны только для безрудных объектов. Всего имеем 11 + 13 = 24 сложных признака (табл. 4.17).

Таблица 4.17