Таблица 3.6

Расчет систематической погрешности анализов серы

Номер пробы n	Содержание, %
	Основные пробы x		Контрольные пробы y	Исправленные пробы xиспр
1	0,41		0,35	0,36
2	1,56		1,21	1,43
3	0,27		0,20	0,23
4	2,70		2,31	2,48
5	0,71		0,66	0,64
6	0,61		0,44	0,55
7	3,90		3,55	3,59
8	4,03		3,68	3,71
9	0,88		0,88	0,80
10	0,96		0,94	0,87
11	2,01		1,90	1,84
12	2,71		2,59	2,49
13	3,65		3,38	3,36
14	1,73		1,70	1,58
15	1,05		0,95	0,95
16	1,24		1,03	1,13
17	2,25		2,25	2,06
18	1,16		1,08	1,06
19	1,79		1,76	1,64
20	1,85		1,68	1,69
21	3,65		3,40	3,36
22	3,15		2,86	2,90
23	3,58		3,24	3,29
24	0,67		0,57	0,60
Сумма	46,42		42,60	42,61
Среднее	1,934		1,775	–

при

и при .

Если хотя бы один из критериев больше допустимого t_доп, то систематическая погрешность установлена. Значения t_доп берут из табл.2.10 при вероятности  = 0,05 и числе степеней свободы k = n – 2.

Если систематическая погрешность установлена, то в основные данные могут быть введены поправки по уравнению регрессии y = ax + b. Подставляя в него содержания в основных пробах x_i, можно получить исправленные значения y_i, не содержащие систематической погрешности. В особо ответственных случаях контроль проводят несколько раз, чтобы убедиться в обоснованности введения поправок на систематическую погрешность.

Пример 3.4. В 24 пробах выполнены основные и контрольные анализы на серу (табл.3.6, рис.3.10). Требуется определить, имеется ли систематическая погрешность в основных анализах.

В результате статистической обработки рассчитаны характеристики: = 1,934; = 1,775; _х = 1,185; _у = 1,100; r = 0,997. Из них получено уравнение регрессии у = 0,9253х – 0,0181. На рис.3.10 видно, что линия регрессии несколько смещена относительно биссектрисы, что свидетельствует о возможной систематической погрешности.

Вычислим необходимые величины:

Из табл.2.10 при вероятности  = 0,05 и числе степеней свободы k = 24 – 1 = 23 найдем допустимую величину критерия t_доп = 2,069. Так как t > t_доп, то систематическая погрешность доказана.

Проверим наличие систематической погрешности по величине коэффициентов регрессии:

Из табл.2.10 при вероятности  = 0,05 и числе степеней свободы k = 24 – 2 = 22 допустимое значение критерия t_доп = 2,074. Так как t_a > t_доп, то систематическая погрешность доказана.

Поправка на систематическую погрешность, выполненная по уравнению регрессии, дает исправленные значения содержания в основных пробах (табл.3.6).

3.2.5. Оценка различия между геологическими объектами

Оценку сходства или различия между геологическими объектами можно производить по характеристикам как каждого отдельного свойства, так и множества свойств. Ограничимся оценкой различия по одному свойству.

Пусть имеются два геологических объекта, в каждом из которых имеется несколько измерений характеристик одного свойства. Средние значения и , дисперсии и , число измерений n₁ и n₂. Решение о различии объектов принимается с помощью критерия t с использованием распределения Стьюдента при вероятности  = 0,05 и числе степеней свободы k = n₁ + n₂ – 2:

(3.35)

Если критерий t будет больше допустимого t_доп при заданной вероятности (см. табл.2.10), то имеются существенные различия между геологическими объектами.

При увеличении числа наблюдений распределение Стьюдента стремится к нормальному и критерий t стремится к пределу, выражаемому формулой

(3.36)

Эта формула обычно и применяется на практике.

Пример 3.5. Проанализированы две серии проб базальтов из различных потоков вулкана. Средние содержания кремнезема составляют соответственно 50,35 и 49,76 %, дисперсии содержаний 4,16 и 3,32, число проб 20 и 25. Нужно установить, различаются ли базальты по содержанию кремнезема.

Число степеней свободы k = 20 + 25 – 2 = 43. Вычислим критерий Стьюдента:

Из табл.2.10 при вероятности  = 0,05 и числе степеней свободы 43 найдем допустимое значение критерия t_доп = 2,01. Так как t < t_доп, то базальты по содержанию кремнезема не различаются.

Различия между совокупностями измерений можно оценивать не только по средним значениям, но и по другим статистическим характеристикам: по дисперсиям, асимметриям и эксцессам. Сравнение дисперсий основано на F-распределении (см. подраздел 2.2.6). Сравнение асимметрий и эксцессов проводится по критериям Стьюдента или нормального закона:

(3.37)

3.2.6. Оценка постоянной радиоактивного распада

Как известно, радиоактивный распад атомов происходит по экспоненциальному закону:

(3.38)

где у₀ – число распадов в произвольный начальный момент времени t = 0;  – постоянная распада.

Если имеются измерения радиоактивности у в различные моменты времени t, то можно рассчитать постоянную , которая связана с периодом полураспада T соотношением T = ln2/. Период полураспада – это время, в течение которого распадается половина атомов. Эта величина является постоянной для каждого изотопа и позволяет идентифицировать его.