Частота и частость содержания железа в руде

Класс содержаний, %	Число проб (частота)		Частость
			в долях единицы	в процентах
30-32	2		0,014	1,4
32-34	6		0,041	4,1
34-36	9		0,061	6,1
36-38	14		0,095	9,5
38-40	20		0,136	13,6
40-42	25		0,170	17,0
42-44	21		0,143	14,3
44-46	17		0,116	11,6
46-48	13		0,088	8,8
48-50	10		0,068	6,8
50-52	5		0,034	3,4
52-54	3		0,020	2,0
54-56	2		0,014	1,4
Сумма	147		1,000	100,0

Некоторая трудность возникает в том случае, когда отдельные значения попадают на границу классов. Их можно относить в старший класс либо пытаться распределить примерно поровну между смежными классами.

Число значений в классе называется частотой. Если выразить частоту в относительных долях к общему числу значений, то получим частость. Ее можно выразить в процентах (табл.2.4).

Данные табл.2.4 позволяют построить гистограмму значений случайной величины (рис.2.1). По оси абсцисс откладывают классы, а по оси ординат – частоту или частость в виде ступенек. Для удобства обозрения над ступеньками выписана частота, а рядом с гистограммой указано суммарное значение n.

Гистограмма дает наглядное представление о поведении случайной величины. На ней видны размах и частота значений. Полезную информацию несет и форма гистограммы; она может быть симметричной и асимметричной, с одним, двумя и более максимумами частот.

Наличие нескольких максимумов свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности и позволяет ставить вопрос о выделении однородных совокупностей. В некоторых случаях отдельные частоты резко преобладают, это чаще всего связано с дефектами измерений. Например, при химическом анализе часто встречаются округленные значения и гораздо реже – промежуточные между ними. Чтобы устранить влияние подобных погрешностей, следует увеличить размер классов и построить гистограмму снова.

2.1.5. Расчет статистических характеристик

по сгруппированным данным

Моменты и статистические характеристики можно рассчитать по сгруппированным данным, что сокращает объем вычислений при большом числе исходных данных.

Пример 2.2. Известны частота значений случайной величины в классах n_i, границы начального и конечного классов и размер (шаг) классов h. Требуется рассчитать статистические характеристики.

Расчет начинается с присвоения каждому классу условного порядкового номера х. Одному из классов присваивают нулевой номер, остальным – отрицательные и положительные номера (табл.2.5). Все классы располагают в порядке возрастания без пропусков. Нулевой класс выбирают произвольно, по возможности ближе к среднему значению, что уменьшает объем вычислений. Чаще всего за нулевой принимают класс с максимальной частотой. В табл.2.5 нулевой класс имеет пределы 40-42, его середина х₀ = 41, а шаг h = 2.

Вначале расчеты выполним в табл.2.5. С помощью условных номеров вычислим начальные моменты, но в условном масштабе, так как размер классов h = 2. Для этого найдем произведения n_ix_i, суммируем их и определим среднее в каждой графе путем деления на общее число данных n = 147. Последняя строка таблицы содержит начальные моменты в условном масштабе m₁ = 0,56; m₂ = 6,80; m₃ = 14,33; m₄ = 132,30. От начальных моментов можно перейти к центральным моментам и далее к статистическим характеристикам.

Поскольку нулевой класс выбран произвольно и необходимо учесть размер классов, формулы вычисления среднего значения и центральных моментов выглядят следующим образом:

среднее значение

= x₀ + m₁h; (2.16)

центральные моменты:

₁ = 0; ;

; (2.17)

Таблица 2.5