Средний состав групп магнетита, %

Группа	Число проб	TiO2	MnO	V2O5	SiO2	Al2O3	MgO	CaO
1	15	0,34	0,14	0,26	0,18	0,52	0,08	0,03
2	3	0,10	0,07	0,24	0,14	0,34	0,08	0,03
3	1	0,43	0,15	0,39	0,46	0,40	0,29	0,15
4	1	0,54	0,19	0,30	0,25	0,40	0,17	0,17

Главные компоненты (табл.4.14) позволяют изобразить проекцию облака точек на любую плоскость в новых координатах. Обычно используется проекция точек на первые две оси (рис.4.2), но можно выбрать и другие пары координатных осей. Подобные графики также несут геологическую информацию. Расположение точек на проекции позволяет выявить однородные совокупности или отдельные аномальные значения, т.е. может быть использовано для классификации объектов. На рис.4.2 видно, что магнетиты различаются по составу, соответствующие точки группируются в два облака. Кроме того, две точки удалены от облаков, что свидетельствует об аномальности двух проб магнетита. Следовательно, имеются две однородные группы магнетита и две аномальные пробы магнетита (группы состоят из отдельных проб). Чтобы определить, какие точки соответствуют различным номерам проб, следует обратиться к табл.4.14 (первые два фактора), где приведены координаты точек в новой системе координат. Аномальными являются пробы 8 и 14. Малое облако точек соответствует пробам 6, 17 и 18. В большом облаке находятся точки остальных проб. Имеет смысл рассчитать средний состав групп и сравнить их между собой (табл.4.15).

Иногда на рисунках главных компонент имеется только одна однородная совокупность. В некоторых случаях вместо облаков точек наблюдаются ряды точек, отражающие особенности эволюции свойств объектов в пространстве или во времени (рис.4.3). На рисунки часто выносят значения главных факторных нагрузок, которые позволяют наглядно видеть направленность свойств в признаковом пространстве.

На рис.4.3 отчетливо видны два эволюционных ряда. В одном ряду преобладают акцессорные хромиты, в другом – рудные хромиты. Вероятно, они различаются способом образования. Чтобы определить состав хромитов двух ветвей, нужно рассчитать состав хромита в каждой ветви. Эта процедура выполняется с помощью значений главных компонент, таких же, как в табл.4.14. Выполненные расчеты по образцу табл.4.15 показали, что верхний эволюционный ряд, где расположены преимущественно акцессорные магнетиты, направлен в сторону алюмохромитов, а нижний эволюционный ряд – в сторону магнохромитов.

Итак, метод главных компонент позволяет выделить однородные совокупности и аномальные значения, а также дать геологическую интерпретацию причин изменения свойств объектов по значениям факторных нагрузок.

4.2.3. Кластерный анализ. Дендрограмма

На основе многомерной статистической модели разработан еще один способ классификации объектов по множеству свойств – кластерный анализ. Существо его заключается в выделении однородных групп объектов и в установлении количественной меры сходства (различия) между объектами и группами объектов.

Пусть имеется совокупность геологических объектов, обладающих множеством свойств. Сведения о свойствах образуют матрицу (4.1). Геометрическая аналогия матрицы – облако точек в многомерном признаковом пространстве, в котором отдельные точки соответствуют единичным объектам. При кластерном анализе исследуется взаимное расположение точек. Чем ближе расположены точки, тем более сходны между собой соответствующие объекты. Задача состоит в том, чтобы объединить скопления близлежащих точек, соответствующие однородным группам объектов. Эти группы называются кластерами, что и дало название методу. Поставленная задача имеет много вариантов решения.

Вначале необходимо выбрать масштаб по осям координат. Если величины имеют одинаковую размерность и приблизительно один порядок, то применяют натуральный масштаб – по координатным осям откладывают исходные свойства.

Если величины различаются размерностью или порядком значений, то необходима нормализация свойств. Один из способов нормализации основан на использовании размаха значений х_max – х_min и осуществляется по формуле

, (4.12)

где х – исходные; t – преобразованные (нормализованные) свойства, нормализованные значения меняются от нуля до +1.

Второй способ нормализации производится по формуле

. (4.13)

Здесь нормализованные значения колеблются от –1 до +1.

Третий способ нормализации выполняется по формуле (2.24), в которой в качестве масштаба используется среднеквадратичное отклонение σ. При нормальном распределении свойства нормализованные значения заключены в основном в пределах от –3 до +3, при иных законах могут выходить за эти пределы.

Когда масштаб по координатным осям задан, можно приступить к определению мер сходства (различия) между объектами по множеству свойств. Наиболее распространенная мера сходства между объектом i и объектом j – это взвешенное евклидово расстояние между точками в многомерном признаковом пространстве:

. (4.14)

Напомним, что k – число свойств. Чем меньше ρ_ij, тем ближе расположены точки в признаковом пространстве, тем больше сходство между соответствующими объектами.

В качестве меры сходства можно применять среднеарифметическое значение абсолютных значений свойств:

. (4.15)

Иной характер имеет угловая мера сходства, основанная на корреляционной связи между объектами:

(4.16)

Она характеризует косинус угла между двумя многомерными векторами, соединяющими начало координат с точкой i и с точкой j. Эта мера заключена в пределах от –1 до +1. Чем она ближе к +1, тем больше сходство между объектами. Чем она ближе к –1, тем больше различие между объектами. Применение данной меры оправданно, если точки находятся приблизительно на одном удалении от начала координат, так как расстояние между точками не учитывается.

Существует много других мер сходства (различия) между объектами, их обзор дан в справочнике [15].

Если имеется совокупность из n объектов, то совокупность мер сходства между всеми парами объектов составляет симметричную матрицу размером n  n. Если используется формула (4.14) или (4.15), то матрица сходства имеет вид

. (4.17)

По диагонали матрицы расположены нули, которые можно заменить прочерками. Чем меньше мера сходства, тем больше объекты сходны между собой.

Если используется мера сходства (4.16), то матрица сходства имеет другой вид:

. (4.18)

В этой матрице, чем ближе мера сходства к +1, тем объекты более сходны между собой.

В ходе кластерного анализа близкие между собой объекты объединяются в группы (кластеры). Вначале находят два объекта, наиболее близких между собой. Их свойства усредняют, и далее они выступают как один объект (кластер). Находят меры сходства полученного кластера со всеми остальными объектами. Данная операция объединения объектов продолжается, пока все они не объединятся в один объект. В итоге получается последовательность объединения объектов и мера сходства на каждом шаге объединения. Эти данные изображают на графике, который называется дендрограммой. По оси абсцисс откладывают номера объектов в порядке объединения, а по оси ординат – соответствующие меры сходства.

Пример 4.5. Имеется 14 анализов циркона на пять компонентов (табл.4.16). Необходимо провести кластерный анализ.

Таблица 4.16