Таблица 3.7

Результаты опытов по измерению радиоактивности препарата

№ п/п	Время, мин	Среднее время t, мин	Число распадов в минуту
			фактическое y	расчетное yрасч
1	0-2	1	66,1	60,1
2	2-6	4	64,9	59,3
3	6-10	8	55,4	58,3
4	10-16	13	57,4	57,0
5	16-28	22	59,2	54,8
6	28-48	38	41,2	51,0
7	48-58	53	49,9	47,8
8	58-89	74	33,9	43,6
9	89-95	92	41,8	40,2
10	95-101	98	46,8	39,2
11	101-115	108	28,8	37,5
12	115-121	118	43,3	35,8
13	121-127	124	37,1	34,9

Пример экспериментальных данных описан в научно-популярном журнале. В начале ХХ в. немецкий физик Отто Ган, измеряя импульсы от препарата урана, облученного нейтронами, установил тен­денцию уменьшения числа распадов с течением времени (табл.3.7, рис.3.11).

Взяв за аргумент среднее время в интервале измерения, а за функцию – число распадов атомов в минуту, можно определить постоянную распада  и период полураспада T. Уравнение (3.38) предварительно прологарифмируем и приведем к линейному виду:

lny = lny₀ – t. (3.39)

Найдем линейную зависимость lnу от t. В результате вычислений по данным табл.3.7 получим уравнение линейной регрессии lnу = 4,1006 – 0,00442t. Потенцируя его, найдем искомую зависимость у = 60,38е^–0,0044. Значения у_расч, вычисленные по этой формуле, приведены в табл.3.7 и по ним построена плавная кривая на рис.3.11. Заметный разброс точек относительно линии обусловлен тем, что распад атомов происходит неравномерно во времени.

Таким образом, постоянная распада  = 0,00442. Период полураспада T = ln(2)/0,00442 = 157 мин = 2 ч 37 мин. Эти данные позволили Отто Гану установить, что импульсы создаются не ураном или радием, периоды полураспада которых были уже известны, а каким-то другим химическим элементом (изотопом). Дальнейшими исследованиями было установлено, что атом урана распадается на два осколка – на атомы бария и криптона. Так эксперимент перерос в крупное научное открытие явления искусственного распада атомного ядра.

3.2.7. Зависимость плотности руды от ее состава

Плотность многих видов полезных ископаемых зависит от их состава. Так, плотность железной руды зависит от содержания в ней железа, сульфидной руды – от содержания серы и т.д. Как показано в подразделе 1.2.2, данная зависимость является гиперболической, хотя часто приближается к линейной.

Рассматриваемая зависимость позволяет решать две задачи: 1) определять плотность руды при известном ее составе, что используется для подсчета запасов; 2) определять состав руды по ее плотности, что применяется при геофизическом опробовании руд.

Пример 3.6. Известны плотность железной руды y и содержание в ней железа х (табл.3.8). Необходимо рассчитать зависимость между этими величинами.

Теоретическое уравнение зависимости выражается гиперболой (1.5). Преобразуем уравнение к линейному виду a + bxy = y, как в подразделе 3.1.8. Вычисление уравнения регрессии дает коэффициенты a = 2,722, b = 0,00655. Следовательно, уравнение зависимости имеет вид

Вычисленные по уравнению расчетные значения плотности у_расч близки к фактическим. Дисперсия отклонений фактических значений от расчетных = 0,006556, дисперсия фактических значений = 0,2541. Отсюда получены дисперсия тренда = 0,2475 и корреляционное отношение  = 0,987.

Таблица 3.8