6.7 Средняя гармоническая величина.
При условии подстановки в общую формулу 6.2 значение К=-1 можно получить среднюю гармоническую величину, которая имеет простую и взвешенную формы.
Название средней гармонической величины неслучайно, так эта средняя "гармонирует" со средней арифметической величиной.
Для ранжированного ряда используется средняя гармоническая простая величина, которую можно записать следующим образом.
(6.10)
где n
– общая численность вариант;
- обратное значение варианты.
Допустим, имеются данные о
том, что при перевозке картофеля скорость
движения автомобиля с грузом составляет
30 км/ч, без груза – 60 км/ч. необходимо
найти среднюю скорость движения
автомобиля. На первый взгляд представляется
совсем несложное решение задачи:
применить способ средней арифметической
простой величины, т.е.
Однако, если иметь в виду, что скорость движения равна пройденному пути, разделённому на затраченное время, то совершенно очевидно, что полученный результат (45 км/ч) оказывается неточным, так как на прохождение одного и того же автомобиля с грузом и без груза (туда и обратно) затраты времени будут существенно различаться. Следовательно, более точная средняя скорость движения автомобиля с грузом и без груза может быть рассчитана по средней гармонической простой величине:
Таким образом, средняя скорость движения автомобиля с грузом и без груза составляет не 45, а 40 км/ч.
В дискретный или интервальных рядах используются средняя гармоническая взвешенная величина:
(6.11)
где W – произведение варианты на частоту (взвешенная варианта, xf).
Расчёт средней гармонической взвешенной величины производится в следующем порядке:
Суммируются взвешенные варианты (Σ W).
Находится произведение взвешенной варианты на обратное значение ее варианты
.Полученное произведение суммируют
.Сумму взвешенных вариант (Σ W) делят на сумму полученных произведений, что и представляет собой среднюю гармоническую взвешенную величину.
Рассмотрим пример. Трудоемкость производства картофеля в первом подразделении сельскохозяйственного предприятия составляет 1 чел.-ч., во втором – 3 чел.-ч. В обоих подразделения на производство картофеля затрачено по 30 тыс. чел.-ч. необходимо рассчитать среднюю арифметическую трудоёмкость картофеля в сельскохозяйственном предприятии. Само собой разумеется, что беглый взгляд на исходную информацию подсказывает простое решение: среднюю трудоёмкость легко найти как полу сумму трудоёмкости картофеля в двух подразделениях, т. е. по способу средней арифметической простой величины:
Однако, при таком решении совершается две ошибки. Первая, принципиальная ошибка заключается в том, что при расчёте средней трудоемкости по способу средней арифметической простой величины не учитывается сущность самой трудоемкости, которая находится как отношение прямых затрат труда к объему продукции. Вторая ошибка состоит в том, что при решении не учтен приведенный по условию задачи конкретный объем затрат труда на производство картофеля (по 30 тыс. чел.-ч. в обоих подразделениях). Это позволяет рассчитать частоту (веса) для трудоемкости картофеля и, таким образом, найти среднюю арифметическую взвешенную трудоемкость, что будет успешно заменено путем применения средней гармонической взвешенной величины:
Таким образом, средняя трудоёмкость картофеля в сельхозпредприятии составляет не 2, как это было рассчитано выше, а 1,5 чел.-ч/ц.
Средняя гармоническая величина применяется главным образом в тех случаях, когда варианты ряда представлены обратными значениями, а частоты (веса) скрыты в общем объеме изучаемого признака.