11.13. Аналитическое выравнивание по уравнению гиперболы

Если для динамического ряда характерны затухающие абсолютные снижения уровней (например, динамика трудоемкости продукции, трудообеспеченности производства в сельском хозяйстве и др.), то выравнивание уровней в таких случаях наиболее целесообразно проводить по уравнению гиперболы, т.е.

(12.38)

При этом порядок нахождения параметров а, в, и расчет уравнений динамического ряда аналогичен примерно приема выравнивания показателей по уравнению прямой линии.

При условии система нормальных уравнений принимает следующий вид:

В качестве примера аналитического выравнивания по уравнению гиперболы возьмем динамический ряд трудоемкости молока в фермерском хозяйстве за 1999-2003 гг. (табл.12.14).

Параметры а, в уравнений 12.39 и 12.40 можно найти путем решения системы уравнений.

Отсюда

Уравнение гиперболы для выравнивания динамики трудоемкости молока в фермерском хозяйстве примет следующий вид:

(12.41)

Подставляя в уравнение 12.41 соответствующее значение t, находим выровненные уровни , например:

и т.д. (табл.12.16).

Таким образом, получаем варавненный по уравнению гиперболы динамический ряд трудоемкости молока в фермерском хозяйстве (табл. 12.16).

Правильность расчетов по аналитическому выравниванию динамического ряда с применением любого способа проверяется совпадением суммы фактических и суммы выравненных уровней, т.е. .

Т а б л и ц а 12.16. Выравнивание трудоемкости молока по уравнению гиперболы

Годы	Фактическая трудоемкость,	Расчетные величины				Выравненная трудоемкость
		t
1999	12	1	1,00	1,00	12,0	12,1
2000	10	2	0,50	0,25	5,0	9,6
2001	9	3	0,33	0,10	3,0	8,7
2002	8	4	0,25	0,06	2,0	8,4
2003	8	5	0,20	0,04	1,6	8,2
Итого	47	-	2,28	1,45	23,6	47

11.14. Понятие об интерполяции и экстраполяции уровней динамического ряда

В некоторых случаях необходимо найти значения отсутствующих промежуточных уровней динамического ряда на основе известных его значений. В таких случаях может быть использован прием интерполяции, заключающийся в нахождении (восстановлении) недостающих уровней внутри динамического ряда.

Применение приема интерполяции должно быть основано на тщательном изучении закономерности изменения уровней ряда и осуществляться интерполирование (восстановление) какого-нибудь неизвестного уровня. При правильном подобранном способе интерполяции значения расчетных уровней минимально отклоняются от фактических уровней динамического ряда.

Например, в сельскохозяйственном предприятии на 1 га посева зерновых культур было внесено в виде подкормки следующего количество минеральных удобрений (в пересчете на 100 % -ое содержание питательных веществ): в 2000 г. (У₀) – 28,5 кг; 2002 г. (У₂)-35,1 кг; 2003 г. (У₃) – 37,7 кг. По этим данным необходимо определить примерный уровень внесения удобрений на 1 га посева в 2001 г. (У₁).

Приведенный выше динамический ряд имеет стабильный абсолютный прирост, поэтому интерполяцию уровня 2001 г. можно провести, например, по среднегодовому абсолютному приросту, воспользовавшись следующей формулой 12.19. с этой целью определим среднегодовой абсолютный прирост внесения удобрений на га пашни по формуле 12.6:

.

На основании среднего прироста найдем значение интерполируемого уровня У₁:

Таким образом, по нашим расчетам в 2001 г. было внесено на 1 га посева 31,6 кг/га (д.в.) минеральных удобрений.

Прием экстраполяции, в отличие от интерполяции, применяют при нахождении уровней , лежащих за пределами динамического ярда.

В основе экстраполяции значений уровня находится предположение о том, что характер динамики, выявленный за известный период, имел место в прошлом или сохранится в будущем. Прибегая к примеру экстраполяции уровней динамического ряда, можно воспользоваться разнообразными способами выравнивания динамических рядов: по прямой линии, показательной кривой, гиперболе, параболе второго порядка и т.д. продолжая аналитическое выравнивание уровней, во многих случаях рассчитать значения неизвестных уровней за пределами динамического ряда.

Экстраполяцию уровня динамического ряда покажем на следующем примере. Заготовка сена в сельскохозяйственном предприятии за период с 1998 по 2003г. изменилась следующим образом (тыс. ц): 1998 г. – 3,7; 2003 г. – 13,0. Необходимо установить, какой объем заготовок сена мог быть достигнут в 2004 г. (У₇). Отметим, что для этого динамического ряда характерна относительные стабильные темпы роста динамики. Поэтому при эксплуатации уровня 2004 года за основу можно принять среднегодовой темп роста объема заготовки сена. Значение искомого уровня будем рассчитывать по формуле 12.20. прежде всего найдем среднегодовой коэффициент роста уровней в приведенном динамическом ряду по формуле 12.12:

раза (1,232 %).

Теперь определим значение экстраполируемого уровня (У₇):

тыс. ц.

Таким образом, экстраполируемый объем заготовки сена в 2004 г. может составить 15,9 тыс. ц.

Целесообразно отметить, что использование интерполяции экстраполяции при расчете уровней динамического ряда носит ограниченный характер, так как тенденция в развитии многих явлений может иметь большие отклонения, а расчеты показатели, полученные на основе выравнивания рядов динамики, имеют обычно приближенные значения. Комбинирование различных статистических методов в сочетании с разнообразными приемами экстраполяции может служить основой при разработке прогноза многих важнейших экономических показателей развития явлений.