Координаты точек и линий в элементарной ячейке.

Вектор  определяет положение в пространственной решетке любой идентичной точки (узла) по отношению к одному из узлов, принятому за нулевую точку. Для описания положения любой точки внутри элементарной ячейки, т.е. базиса, пригодно то же уравнение, однако m, n, и p, в этом случае – дробные числа, характеризующие значения координат в точках по отношению к нулевой точке в долях от величины описывающих данную ячейку векторов a,b,c (ее осей). Координаты точек элементарных ячеек записываются в круглых скобках. За нулевую точку (000) чаще принимается позиция в левой нижней передней вершине элементарной ячейки, но иногда точке (000) отвечает левая нижняя задняя вершина.

При рассмотрении рисунков элеметарных ячеек надо обращать внимание на направление элементарных осей.

Пример

При этом, например P₃ (2/3 1/3 1/2), означает, что для нахождения точки P₃ необходимо отложить 2/3_a, 1/3_b 1/2_c. Точка P₄ лежит в центре элементарной ячейки. Точки с тремя одинаковыми координатами, т.е., например A₁(1/4 ¼ 1/4), A₂(1/2 ½ 1/2) A₃(3/4 ¾ ¾) лежат на диагонали элементарной ячейки.

Если все три координаты фиксированы, то число степеней свободы точки равно 0

Если одна координата может быть переменной, (1/2 y 1/3), возникает одна степень свободы. Точка может иметь любые значения от 0 до 1.

Принципы инициирования плоскостей кристаллической решетки.

Начнем с плоскостей параллельных оси с (соответствующий индекс l=0)

Пересекая плоскость, образованную трансляционными векторами _a и _b, они оставляют следы пересечения, показанные для некоторых плоскостей на рис.

Общее правило: значения индексов определяются числом плоскостей, пересекаемых соответствующим трансляционным вектором от одного узла решетки до другого, идентичного.

Очевидно, что межплоскостное расстояние d_hkl вдвое больше расстояния d_2h2k2l и соответственно втрое больше d_3h3k3l. Следовательно, расстояние d₍₁₀₀₎ вдвое больше расстояния d₍₂₀₀₎ и вчетверо больше межплоскостного расстояния d₍₄₀₀₎.

Пример плоскости пересекающей все три оси.

Подсчет значений индексов приводит к символу плоскости (214).

В случае кубической сингонии величина межплоскостного расстояния определяется в единицах периода идентичности а как функция (hkl), выражается уравнением

из рисунков вытекает важный вывод: с увеличением m = h²+k²+l², межплоскостные расстояния уменьшаются.

На рис. представлены межплоскостные расстояния в кубических P, I и F – решетках.

Из рисунка видно, что в случае P-решетки наибольшим реально возможным является расстояние d₁₀₀. На основании формулы это же межплоскостное расстояние должно было бы быть наибольшим реальным и для объемноцентрированной I- и для гранецентрированной F-решетки. Однако из рисунка видно, что это не совсем так. В случае I-решетки в центре элементарной ячейки имеются атомы, т.е. параллельно плоскостям (100) проходят плоскости (200), расстояния между которыми равны a/2. Это же вытекает из уравнения по расчету d. Таким образом наибольшим в данном случае являются расстояния d₁₁₀. В случае F-решетки атомы лежат не только в плоскостях (200), но и (220) и наибольшим реальным является расстояние d₁₁₁, следующим является d₂₀₀, еще меньше d₂₂₀.