Концентрация носителей

Равновесная концентрация электронов, для которых возможный интервал энергий лежит в пределах зоны проводимости, определяется выражением

,

N(E) – плотность состояний, число состояний в единичном интервале энергий в единице объема кристалла,

f(E) – Функция Ферми – Дирака, определяющая вероятность того, что состояние занято электроном.

Для стандартной зоны проводимости E_k

для N(E)

Для валентной зоны, у верхнего края которой

имеем

,

.

Интегрирование ведется от дна зоны Е_с до ее потолка, но функция Ферми – Дирака при Е  Е_F быстро спадает до 0, и верхний предел заменен на бесконечность.

Приняв ; , величины  и  представляют приведенные в единицах энергию электрона в зоне проводимости и уровень Ферми, отсчитанные от дна зоны E_c, тогда

,

- эффективная плотность состояний в зоне проводимости

- интеграл Ферми – Дирака порядка

n = 4,8210^15.

Равновесная концентрация дырок в валентной зоне

- функция распределения дырок

Вероятность того, что в состоянии теплового равновесия на уровне с энергией Е отсутствует электрон, т.е. что этот уровень занят дыркой

з

Выражение для концентрации дырок

Нижний предел интегрирования заменен на , с учетом того, что функция f(E) быстро спадает.

Если , , то .

Концентрация дырок, с учетом всех выкладок, будет равна

- эффективная плотность состояний в валентной зоне

Интеграл Ферми – Дирака для валентной зоны имеет вид

.

Для определения концентрации электронов и дырок необходимо вычислить интегралы Ферми – Дирака. Интегралы не вычисляются точно, но для них имеются приближенные выражения, которые упрощают формулы для концентрации электронов и дырок.

Приближение (*) соответствует статистике Больцмана, которое справедливо при если выполняется условие

Если уровень Ферми лежит ниже дна зоны проводимости более чем на k_BT, то полупроводник описывается классической статистикой и является невырожденным. Аппроксимация (**) справедлива если и пригодна для описания полкпроводников с промежуточными (от невырожденных к полностью вырожденным) свойствами.

Используя приближение (*), находим концентрацию электронов в невырожденном собственном полупроводнике

,

она зависит от температуры и зависимость определяется экспоненциальным членом.

Для полностью вырожденного полупроводника, с учетом (*) и (***)

Из приближений (*)-(***) получаем приближенные значения интеграла Ферми – Дирака

При или  , полупроводник невырожденный, при  - полностью вырожден.

Используя приближения (****) и (******) для концентрации дырок в невырожденном полупроводнике , в полностью вырожденном .

Выражения для n и p позволяют определить концентрацию дырок и электронов, если известно положение уровня Ферми. Положение уровня Ферми определяется условием электронейтральности собственного полупроводника, его можно найти, если решить уравнение n = p

Для невырожденного полупроводника

Уровень Ферми

Если , то положение уровня Ферми в собственном полупроводнике не зависит от температуры и он лежит в середине запрещенной зоны. Если , E_F расположен в центре запрещенной зоны только при Т = 0 К. С повышением температуры он линейно смещается к той зоне, в которой меньше масса носителей, что показано на рисунке.

E

E_C



Зависимость уровня Ферми от температуры в собственном полупроводнике

E_F



E_v

0

В собственном полупроводнике n = p = n_i, в этом случае собственная концентрация носителей заряда

С учетом выражения для N_C и N_v

Концентрация носителей (электронов и дырок) в невырожденном собственном полупроводнике не зависит от уровня Ферми. Она увеличивается с температурой по экспоненциальному закону с энергией активации, равной половине ширины запрещенной зоны. Температурная зависимость концентрации собственных носителей, построенная в координатах ln n_i от , представляет собой прямую линию

,

т.к. функцией можно пренебречь по сравнению с

ln n_i

Зависимость концентрации носителей в собственном полупроводнике от температуры



Тангенс угла наклона равен половине ширины запрещенной зоны . Из следует, что с ростом температуры из-за приближения уровня Ферми к зоне с «легкими» носителями, полупроводник может перейти из невырожденного в вырожденный. Вырождение наступает когда расстояние между E_F и границей зоны становится соизмеримо с величиной k_BT. При этом, если вырождение наступило в зоне проводимости, то в валентной зоне оно отсутствует, т.к. с ростом T , уровень Ферми отдаляется.

Концентрация носителей в собственном полупроводнике имеет вид

Вырождение в собственном полупроводнике наступает в том случае, когда эффективность массы электронов и дырок значительно различается.