4. Тмо формування поняття натурального числа і нуля.

4. Формування числових уявлень у дітей розпочинається ще у дошкільному періоді і продовжується досить тривалий період, а інколи і все життя. Саме ця обставина детермінувала увагу до проблем формування числових уявлень з боку методистів і вчителів - практиків. Числові уявлення починають формуватися з перших днів свідомого життя людини, але до школи цей процес відбувається стихійно. Систематична робота з формування поняття натурального числа і нуля розпочинається при вивченні нумерації чисел в межах 10. Для особистісної орієнтації процесу формування понять вчителеві слід чітко знати ТМО такої роботи. Аналіз досліджень психологів, дидактів і методистів дозволяє зробити висновок про те, що до них необхідно віднести принаймні наступні закономірності:

• поняття є основною формою знань. Ми на боці тих науковців, які трактують поняття як форму наукового знання, яка відображає об’єктивно істотне у предметах і явищах та закріплює це спеціальними термінами чи позначеннями [П-13,455]. Якщо уявлення – це чуттєво-наочний образ, що виникає у свідомості, то поняття віддзеркалює недоступні для органів відчуття істотні властивості та ознаки, закономірні відношення між процесами чи явищами. Поняття характеризує множину предметів, які мають ту чи іншу ознаку. Кожне поняття має зміст та обсяг. Якщо зміст поняття - це множина істотних ознак, властивостей і відношень, то обсяг - це множина предметів, які мають вказані істотні ознаки предмета чи явища, що відображений у змісті поняття;

• оволодіння поняттями відбувається завдяки мисленню;

• мислення різних учнів одного й того ж віку відрізняється співвідношенням наочно-образних і словесно-логічних компонентів;

• конкретні уявлення виникають на підставі безпосереднього сприймання предметів, а загальні - формуються в результаті аналізу емпіричних матеріалів;

• у початкових класах уявлення відіграють надзвичайно важливу роль, бо є основою для прийомів розумових дій - порівняння, узагальнення, зіставлення, протиставлення тощо;

• у навчанні під критичне навантаження слід ставити ті компоненти розумової діяльності, які найбільше відстають у своєму розвитку [ П-2, 56 ];

• формування будь-якого поняття є довготривалий процес, що здійснюється поступово з різною швидкістю у різних учнів;

• при формуванні математичних понять слід давати психофізіологічне обґрунтування методів навчання, вправ, задач тощо. [Э-3,188];

• Л.Виготський довів, що навчання повинне орієнтуватися головним чином на психічні види діяльності дитини, які ще не склалися, але починають виникати. Запас числових уявлень дітей, що приходять до школи, можна назвати, за його термінологією, "зоною найближчого розвитку", бо більшість школярів може лічити, порівнювати множини предметів під керівництвом вчителя. Завдання вчителя полягає в тому, щоб так дозувати допомогу дітям, щоб вони змогли виконувати цю діяльність самостійно, а тоді вони перейдуть у "зону актуального розвитку";

• дослідження Д.Богоявленського і Н.Менчинської [Б-2], аналіз практики формування математичних понять у молодших школярів дають підстави констатувати, що найефективнішим шляхом є індуктивно-дедуктивний, коли від розгляду окремих фактів дітей поступово підводять до загального визначення і лише потім вони усвідомлюють окремі факти;

• Д.Ельконін і В.Давидов встановили здатність молодших школярів до проведення теоретичних узагальнень, коли в результаті цілеспрямованого аналізу одного конкретного випадку виділяються істотні ознаки як основа відповідного поняття;

• аналіз досліджень Д.Богоявленського, Л.Виготського, В.Давидова, Є.Кабанової-Меллер, Н.Менчинської, О.Раєва, Н.Тализіної та ін. дозволяє стверджувати, що формування понять відбувається у процесі пізнавальної діяльності, яка повинна включати в себе: а) систему специфічних операцій із засвоєння необхідних і достатніх ознак у конкретних предметів; б) засвоєння загальнологічної системи операцій (підведення об’єкта під дане поняття, одержання наслідків із того, що об’єкт належить даному класу предметів;

• формування поняття відбувається у результаті процесів аналізу, синтезу, абстракції, узагальнення;

• не завжди процес формування поняття відбувається за схемою: відчуття - сприймання - уявлення - поняття, але обов’язково з використанням першої та другої сигнальних систем [Г-14,13-15];

• формування понять, як однієї із форм знань, відбувається в процесі складного психолого-методичного процесу, що містить в собі такі структурні компоненти: сприймання (безпосереднє або чуттєве та опосередковане або раціональне) і розуміння (усвідомлення, осмислення і інсайт); запам’ятовування (первинне закарбовування, біжуче запам’ятовування, закріплення довільне та мимовільне); застосування, узагальнення та систематизація (первинна, локальна, міжпонятійна, тематична, підсумкова, міжпредметна) [Д-7,68-80];

• різні рівні засвоєння знань вимагають сформованості різних мислительних операцій (репродуктивний рівень передбачає виконання завдань, що вимагають відтворення знань без істотних змін: факти, поняття, правила, закони, готові висновки. Його досягає більшість учнів без ускладнень; рівень стандартних операцій передбачає оперування знаннями у стандартних умовах: за зразком, правилом, вказівками, стандартами. Його досягають у середньому понад половина школярів, що обумовлюється відсутністю достатнього вправляння у процесі навчання; аналітико-синтетичний рівень вимагає наявності умінь аналізувати, синтезувати та узагальнювати, істотних перетворень у структурі набутих школярами знань, сформованості уміння застосовувати навички логічної обробки навчального матеріалу: пояснення внутрішньої суті, виділення головного, уміння давати оцінку, порівнювати, доводити, узагальнювати і конкретизувати. Його досягає, як правило, лише третина учнів, бо значна частина вчителів не приділяє спеціальної належної уваги формуванню прийомів розумової діяльності; творчий рівень передбачає сформованість уміння застосовувати знання у значно змінених умовах. Його досягає лише один із 9-10 учнів) [П-27,5-6];

• психолого-педагогічними і методичними дослідженнями обґрунтоване положення про те, що у процесі навчання потрібно виділяти два самостійних, взаємопов’язаних завдання: оволодіння учнями змістом навчального предмету та цілеспрямоване формування у школярів прийомів розумової діяльності (Д.Богоявленський, О.Раєв, В.Паламарчук, В.Осинська та ін.). Отже, при формуванні поняття натурального числа і нуля слід передбачити систему вправ, спрямованих на засвоєння нумерації чисел, і вправ, призначення яких полягає у формуванні прийомів розумової діяльності, які використовуються для засвоєння змісту програми;

• стихійне, некероване повторення дій може не привести до їх вдосконалення або привести до механічного вправляння у застосуванні дій у стандартних умовах;

• зростання кількості однотипних вправ не призводить до якісного збагачення логічних прийомів мислення [Э-3,105];

• оскільки дослідженнями П.Шеварьова і Я.Грудьонова встановлено, що одноманітне повторення запитань і вправ веде до актуалізації випадкових асоціацій, то система вправ повинна бути різноманітною;

• істотні ознаки поняття є орієнтирами учням для виконання певних дій. Для забезпечення такого орієнтування учень повинен пройти через всі етапи діяльності, з допомогою якої формуються істотні ознаки: етап пред’явлення школярам істотних ознак в готовому матеріальному або матеріалізованому вигляді, коли діти під керівництвом вчителя за допомогою предметних дій з об’єктами, схемами, символами вчаться виділяти істотні ознаки понять; етап виділення істотних ознак понять з допомогою слова та мовних дій; етап виділення істотних ознак з допомогою проговорювання їх про себе; етап виділення істотних ознак поняття, що формується, з допомогою мислительних дій. Пропуск хоча б одного етапу приведе до помилок у формуванні математичних понять [Г-15];

• експериментальними дослідженнями Ж.Піаже встановлено: до семи років істотні зв’язки об’єктів навколишньої дійсності діти розуміють за допомогою їх наочних образів; діти 8-11 років здатні проводити класифікацію предметів з допомогою істотних ознак певних понять, але з опорою на реальні образи об’єктів;

• у процесі навчання математики молодших школярів математичні поняття можна формувати лише з опорою на наочність та практичні дії з реальними предметами навколишньої дійсності, які є певними моделями або наочними образами цих понять;

• завдяки наочності утворюються ясні і точні образи сприймання і уявлення, відбувається перехід від сприймання конкретних об’єктів до утворення абстрактних понять з наступним виділенням і словесним закріпленням поняття в означенні чи у відповідному терміні;

• за допомогою активної предметної діяльності кожного школяра з наочним матеріалом відбувається включення в роботу всіх аналізаторів (слухового, зорового тощо), а тому об’єкти, що вивчаються, сприймаються всебічно;

• дослідженнями психологів Д.Богоявленського, Дж.Брунера, В.Зикової, Н.Менчинської, І.Якиманської та ін. встановлені умови позитивного (правильне співвіднесення слова вчителя і наочності; врахування вікових та індивідуальних особливостей учнів; формування у школярів уміння бачити наочний матеріал; ретельний відбір наочності та місця її застосування; визначення функцій наочного матеріалу тощо) та негативного (наочність може сприяти і вихованню пасивної людини, гальмувати розвиток мислення, уяви тощо) впливу наочності на формування понять;

• дослідженнями психологів і фізіологів (Л.Виготський, І.Сєченов, В.Зикова та ін.) вивчено як позитивний, так і негативний вплив життєвого та одержаного в процесі навчання досвіду на формування понять. Особливого значення має ця проблема для процесу навчання молодших школярів, бо вони не можуть критично осмислювати та встановлювати відмінність життєвих і наукових понять, не мають достатнього життєвого досвіду з цілого ряду питань. Завдання вчителя полягає в тому, щоб виявити життєве розуміння терміна, а в разі його неправильного тлумачення протиставити йому нове значення і розуміння терміна, яке б не суперечило науковому поняттю;

• негативний вплив набутого в процесі навчання досвіду школярів проявляється у кількох аспектах: а) пропедевтична робота з формування понять стає на перешкоді при переході до визначення понять, бо діти не відчувають потреби в них; б) неправомірне перенесення попереднього досвіду у нові умови; в) конфлікт між новими і старими знаннями. Для подолання такого негативного впливу вчитель повинен добре знати зміст програми з математики не лише для молодших класів, але й для У-УІ, формувати потребу до визначень, проводити роботу з попередження помилок, формувати у дітей уміння співставляти одержані результати з тими, які задовольняють задачу;

• використання аналогій при формуванні понять дає можливість краще встановити однакові властивості, виявити відмінні ознаки, більш глибоко усвідомлювати властивості нових понять, попереджувати на цій основі можливі помилки;

• висновок за аналогією правдоподібний, але для встановлення його істинності чи хибності слід провести спеціальне обґрунтування з допомогою дедуктивних міркувань;

• у нових програмах та державному освітньому стандарті початкової освіти визначені знання, навички та вміння, які є обов’язковими для засвоєння всіма школярами. Засвоєння ж решти із представлених у підручниках і програмах понять повинно складати особистісну спрямованість навчання на задоволення потреб особистості;

• Г.Люблінська [Л-28,20] справедливо відзначає, що вчитель повинен завжди віддавати собі повний звіт про те, що завчене дітьми слово ще зовсім не є показником того, що засвоєне і саме поняття, яке позначається ним. Такі пусті, формальні знання учні здобувають тоді, коли вони лише заучують відповідні назви і навіть можуть потім відтворити заучене означення. Однак зміст поняття залишається для них неясним. Сказане дає підстави стверджувати, що вчитель повинен чітко уявляти зв’язок між поняттям і терміном, зміст та обсяг кожного поняття, що формується, внесок кожної вправи в його формування, а також розуміти, що міцне і свідоме засвоєння знань можливе лише в процесі ознайомлення із системою понять;

• глибоке засвоєння поняття досягається при використанні не лише розв’язання вправ, але й при самостійному складанні та розв’язанні вправ різних рівнів складності з урахуванням психофізіологічного обґрунтування використовуваної їх системи (дослідження П.Ерднієва);

• Д.Богоявленський, Н.Менчинська, В.Стрезікозін експериментальними дослідженнями довели, що для успішного формування понять чи їх систем дітей слід ознайомлювати із шляхами найбільш успішного оволодіння ними [П-42; С-12];

• діяльність вчителя при формуванні понять повинна спрямовуватися на допомогу учням у відшуканні шляхів оволодіння поняттям або їх системою [П-42; С-12];

• діяльність вчителя повинна спрямовуватися на допомогу учням у вичлененні в розглядуваному матеріалі всього того, що складає істотні ознаки поняття, допомагає їх узагальнити та зробити висновки. З цією метою слід колективно розглянути ряд явищ чи їх сторін, виділити істотні ознаки, сконцентрувати на них увагу учнів, розкрити зв’язки та відношення виучуваного явища з іншими, показати внутрішні зв’язки між його структурними компонентами. На основі проведеної роботи підвести школярів до потрібних висновків, дати при потребі відповідне означення нового поняття, провести порівняльний аналіз сформованого нового поняття з раніше вивченими;

• дослідженнями встановлено, що процес формування нових понять вимагає безпосереднього керівництва ним з боку вчителя, а на самостійну роботу можна віднести лише підготовку до засвоєння поняття, первинне закріплення та його застосування в добре відомих умовах;

• дослідженнями В.Крутецького встановлено, що критерієм оволодіння поняттям є уміння оперувати ним, бо це дає змогу з’ясувати, які ознаки учень поклав в основу поняття [К-68,60].

Ми далекі від думки, що вказали всі ТМО формування математичних понять у молодших школярів. Разом з тим, як свідчать результати проведених досліджень, навіть врахування вказаних значною мірою сприяє особистісній орієнтації навчального процесу та підвищенню рівня оволодіння школярами математичним матеріалом. Добре відомо, що методика роботи над будь-яким питанням з необхідністю вимагає дотримання певних етапів, серед яких виділяють: 1) підготовчий період до сприймання нового матеріалу, на якому проводиться актуалізація опорних знань, умінь і навичок, без яких засвоєння нового матеріалу неможливе. Основною метою цього етапу є підготовка учнів до вивчення нового. 2) ознайомлення учнів з новим матеріалом; 3) формування знань, умінь і навичок. Підготовча робота до вивчення нумерації чисел у межах десяти відбувається у дочисловому періоді. Підготовчий період до вивчення нумерації чисел в межах 10 розпочинається з першого уроку математики і закінчується на першому уроці з теми "Нумерація".

Оскільки, у нині діючих підручниках з математики М.Богдановича число трактується як спільна властивість класу скінченних рівнопотужних множин, то основними операціями, з допомогою яких формуються числові уявлення, є такі: 1) визначення чисельності скінченних множин; 2) порівняння чисельностей двох множин; 3) практичне знаходження об'єднання і різниці множин з наступним визначенням чисельності одержаної нової множини; 4) лічба предметів; 5) вимірювання величин; 6) запис і читання чисел; 7) арифметичні операцій над числами; 8) ознайомлення з частинами та дробами; 9) розв'язування задач; 10) ознайомлення з порядковим і кількісним значенням числа; 11) утворення чисел шляхом прилічування по одному чи групами, відлічування по одному чи групами і як суми кількох доданків.

Нуль спочатку з'являється як значок, тобто цифра, яка використовується для позначення числа 10, а пізніше – як число, яке ми одержуємо в результаті виконання дії віднімання у випадках виду: 4–4=0. Пізніше нуль з'являється для запису різноманітних випадків операцій з нулем: а+0=а; 0+а=а; а–0=а; 0а=0; 0:а=0; ділити на нуль не можна! Для того, щоб показати дітям появу нуля, можна провести таку роботу: виставивши на набірному полотні певну кількість предметів, наприклад 5, і з'ясувавши з дітьми їх кількість, пропонуємо дітям забрати один предмет: хто може записати відповідний приклад? (на дошці з’являється запис 5–1=4); скільки у нас було предметів на початку? скільки забрали? скільки залишилось? Заберемо ще один предмет: скільки залишилось?, скільки у нас було предметів на початку?, скільки всього забрали, залишилось? Хто може це записати прикладом? (5–2=3). Аналогічно знімаємо предмети і працюємо з дітьми аж до випадку 5–5=0. Скільки було предметів спочатку?, скільки забрали?, скільки залишилось?, чи може хтось записати це за допомогою дії? як називається це число?

Формування числових уявлень у дітей потребує довготривалих вправ, які мають одноманітний характер: полічи, визнач, яких більше тощо. Саме тому діти в силу своїх вікових особливостей не можуть довго займатися їх виконанням, а тому вчителю слід урізноманітнювати виконання цих вправ, використовуючи різні предмети, життєві ситуації, ігрові моменти та елементи змагання, не забуваючи при цьому про основну мету. Формування числових уявлень вимагає також опори на наочність, але різні діти потребують різної опори. Якщо вчитель буде працювати однаково з усіма учнями, то він буде сприяти затримці у розвитку сильних учнів. Для того, щоб досягти успіху у розвитку слабших учнів, треба поступово зменшувати роль наочності, переводячи спочатку дітей від предметної наочності до конкретних картинок і, нарешті, до символічної наочності у вигляді лічильних паличок чи геометричних фігур. Якщо вчитель не буде організовувати саме так роботу з різними групами учнів, то діти будуть залишатися на рівні наочно-образного мислення. Ці висновки випливають із ТМО формування понять і результатів експериментальних досліджень.

Як відомо, навчальний матеріал у курсі математики початкових класів розміщено концентрично (Пригадайте, що розуміють під концентричною побудовою курсу математики!). Концентричність при вивченні нумерації проявляється в тому, що у кожний наступний концентр включаються нові питання, разом з якими одержують подальший розвиток ті, які вивчалися у попередньому концентрі. Оскільки формування числових уявлень у молодших школярів відбувається на протязі всього вивчення курсу математики І-ІУ класів, то у кожному концентрі розглядаються наступні питання: 1) способи одержання чисел (лічба, вимірювання); 2) читання і написання чисел; 3) ознайомлення з принципами побудови натурального ряду чисел; 4) розгляд різних способів утворення чисел (додавання одиниці, віднімання одиниці, як суми двох доданків); 5) формування уявлень про відмінності між числом і цифрою; 6) усвідомлення кількісного та порядкового значення числа.

Для успішного формування у дітей числових уявлень вчитель повинен чітко знати ТМО, на яких ґрунтується ця робота. До них відносять: 1) застосування наочності відповідно до вікових і індивідуальних особливостей школярів, бо матеріал носить дуже абстрактний характер і невикористання наочності приводитиме до неправильних узагальнень (саме тому методисти і вчителі-новатори рекомендують спочатку використовувати предмети оточуючої дійсності, потім предметні картинки і, нарешті, - умовну наочність у вигляді лічильних паличок і геометричних фігур, не забуваючи про те, що для деяких дітей ці переходи повинні відбуватися швидко, бо інакше гальмуватиметься формування абстрактного мислення); 2) використання раніше набутих знань; 3) створення умов для самостійного одержання учнями нових знань; 4) підведення дітей до спільності одержаних висновків; 5) вивчення нумерації полегшується, якщо діти матимуть багатий мовний досвід, а тому слід заохочувати застосування у мові учнів числівників, які позначають числа, що виходять за межі тих, які вивчаються на даний час; 6) не пояснювати дітям як нове те, що вже відоме з попередніх концентрів; 7) систематично і цілеспрямовано вести всіх дітей до відповідних узагальнень; 8) стимулювати намагання дітей перенести раніше набуті знання у нові умови.