5. Тмо вивчення рівностей, що містять змінну, в тому числі і рівнянь.

5. Що розуміють під рівнянням у систематичному курсі алгебри? – рівняння з однією змінною трактуються, як предикат виду f(x)=g(x), де хєХ і для якого потрібно знайти значення змінної х, підстановка яких у цей предикат перетворює його у правильну числову рівність. Цілком зрозуміло, що в 1–4-х класах трактувати так рівняння неможливо в силу вікових особливостей дітей. Саме тому в курсі математики початкової школи рівняння трактується, як рівність, яка містить поки що невідоме число, значення якого потрібно знайти. Відповідно до такого тлумачення поняття “рівняння” можна твердити, що теоретичною основою прийому розв'язування рівнянь у початкових класах є знання учнями залежностей між компонентами та результатами арифметичних дій і правил знаходження невідомих компонентів цих дій.

Успішність роботи вчителя значною мірою залежить від його обізнаності щодо завдань вивчення відповідного матеріалу та усвідомлення ТМО вивчення цього матеріалу. Які завдання вчителя щодо формування уявлень дітей про рівняння? – 1) сформувати у школярів поняття про рівняння як рівність, яка містить поки що невідоме число, яке позначене буквою; 2) довести до свідомості учнів, що, маючи справу із рівнянням, завдання полягає в тому, щоб знайти значення цього невідомого числа, при якому одержана числова рівність буде правильною; 3) навчити школярів знаходити значення невідомого числа на основі знань про зв’язок між компонентами і результатами арифметичних дій і на основі знання правил знаходження невідомого компонента відповідної арифметичної дії; 4) навчити учнів записувати розв’язання рівняння; 5) сформувати у школярів уміння проводити перевірку одержаних коренів рівняння; 6) навчити учнів застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач; 7) сприяти формування у дітей уявлень про змінну; 8) показати застосування математики у практичному житті людини тощо.

Які ж рівняння розглядаються в курсі математики початкових класів? – рівняння з однією змінною, які можна поділити на дві групи: 1) найпростіші рівняння, до яких відносять рівняння на знаходження невідомого доданка, зменшуваного, від’ємника, множника, діленого чи дільника, наприклад: 2+х=7, х-5=12, 12-х=7, 5●х=45, х:5=9, 48:х=6 тощо; 2) складені рівняння, до яких відносять рівняння, одержані із найпростіших, наприклад: (9+х):12=132 тощо.

Як відбувається ускладнення рівнянь в курсі математики І-ІУ-х класів? – по двох лініях, по-перше, завдяки розширенню розглядуваної області чисел, по-друге, шляхом ускладнення структури рівняння: а) найпростіші рівняння; б) рівняння, в яких частина, що не містить змінної, представлена виразом, наприклад: 2+х=49:7; в) рівняння, в яких вираз міститься у тій частині, яка містить невідоме, наприклад: х+42:7=15; г) рівняння, в яких невідоме входить до складу виразу, наприклад: х:7-5=44. Цілком зрозуміло, що в міру формування у дітей уміння розв’язувати рівняння, їх ускладнення може відбуватися за двома лініями: і через розширення числової області, і через ускладнення структури.

Яка система вправ використовується для формування уявлень дітей про рівняння та його розв'язування? – з цією метою системою вправ підручників передбачено використання наступних видів рівнянь: 1) найпростіші рівняння на знаходження невідомого доданка, зменшуваного, від’ємника, множника, діленого і дільника; 2) розв’язування рівнянь виду х+5=9+3, в яких права частина являє собою вираз; 3) розв'язування рівнянь виду х-24:8=7, в яких ліва частина містить вираз, до якого не входить невідоме; 4) рівняння найскладнішої структури, наприклад: (у-7):8=12, в яких ліва частина містить вираз, до якого входить невідоме; 5) розв'язування текстових задач з допомогою складання рівнянь.

Відповідно до ТМО навчання формування уявлень дітей про рівняння та їх розв’язування проходить в три етапи: на підготовчому етапі діти вчаться виконувати обчислення, засвоюють зв’язок між компонентами і результатами арифметичних дій, а також розв’язують вправи виду: +3=7, які вже є фактичними рівняннями, але невідоме в яких позначене . Оскільки поняття рівняння тісно пов’язане з поняттям виразу та рівності, то успішність формування поняття “рівняння” значною мірою залежить від сформованості вказаних понять. Саме тому відповідна підготовча робота розпочинається з першого класу та спрямована на актуалізацію опорних знань, умінь і навичок молодших школярів. Вона включає виконання вправ з "віконцями" та на знаходження невідомого компонента арифметичних дій на основі зв’язків між компонентами та результатами арифметичних дій.

У чому суть підготовчої роботи до введення першого рівняння? – для того, щоб діти навчилися розв’язувати найпростіші рівняння, вони повинні знати зв’язки та залежності між компонентами і результатами арифметичних дій і правила знаходження невідомого компонента відповідних дій. Саме тому кожен вид найпростішого рівняння з’являється після того, як діти засвоїли вказані зв’язки та правило знаходження відповідного невідомого компонента. Оскільки підготовча робота до ознайомлення учнів з кожним видом найпростіших рівнянь ґрунтується на одних і тих самих ТМО, то покажемо її сутність на прикладі введення рівняння на знаходження невідомих зменшуваного і від’ємника.

Так, з метою підготовки до навчання учнів розв'язувати рівняння на знаходження невідомих компонентів дії віднімання слід відповідно до індивідуальних особливостей дітей проводити таку підготовчу роботу: 1) із даної рівності 7–2=5 скласти дві інших; 2) за даними рівностями -2=3, 5-=3 дати відповіді на такі запитання: які компоненти віднімання відомі у даному прикладі? Які компоненти слід знайти? Як їх знайти? Запишіть: -2=3, 3+2=5. Як перевірити, чи правильно знайдено цей компонент; 3) скласти рівняння з числами 9, 7, 6, х, 10 та розв’язати їх. Використовуючи дані числа, складіть рівняння, в яких невідоме дорівнює нулю. У цьому випадку діяльність учнів буде носити творчий характер, а для формування прийому узагальнення можна запропонувати порівняти всі одержані рівняння та вказати на їх особливості. Отже, підготовча робота полягає в тому, щоб діти повторили назви компонентів дії віднімання, зв’язки між компонентами і результатами цієї дії, навчилися знаходити невідомий її компонент, засвоїли відповідне правило.

Як же ознайомити молодших школярів з першим найпростішим рівнянням? - всі найпростіші рівняння вводяться за одним і тим самим планом. Покажемо це на прикладі рівняння на знаходження невідомого доданка. Безпосередньо на уроці, на якому будемо ознайомлювати учнів з цим рівнянням слід повторити назви компонентів дії додавання і правило знаходження невідомого доданка. Для введення рівняння цього виду корисно розглянути таку задачу: “У клітці було кілька чорних кролів і 5 білих кролів. Всього у клітці було 9 кролів. Скільки чорних кролів було у клітці?”. Ознайомивши учнів із задачею проводимо наступну бесіду: чи відомо, скільки чорних кролів було у клітці? – ні, лише сказано, що кілька. Оскільки це невідомо, то як зображатимемо цю кількість? - віконцем. Скільки білих кролів було у клітці? – 5. Більше чи менше разом було чорних і білих кролів у клітці? - більше. Якщо всіх кролів було більше, то якою дією слід знаходити загальну кількість кролів у клітці? – додавання. Як це записати? - +5. Що означає цей запис? – загальну кількість кролів у клітці. А скільки ж всього кролів було у клітці? – 9. Що позначає запис +5? – загальну кількість кролів у клітці. Що позначає число 9? – загальну кількість кролів у клітці. Що можна сказати про ці кількості? - вони однакові. Який знак можна поставити між ними? – знак “=”. Який запис одержимо? - +5=9. У математиці невідомі числа прийнято позначати буквами латинського алфавіту, а тому замість віконця поставимо букву х і одержимо запис х+5=9. У математиці такі записи називають рівняннями. Рівняння розв’язують. Розв’язати рівняння - це означає знайти таке невідоме число, підстановка якого у рівняння робить числову рівність правильною. Як називаються числа при додаванні? – перший доданок, другий доданок, сума. Що нам невідомо? - перший доданок. Як знайти невідомий перший доданок? – від суми відняти відомий другий доданок. Отже, маємо: х=9–5. х=4. Ми записали розв’язання рівняння. У математиці розв’язання рівняння потрібно перевіряти. Для цього замість букви х слід підставити знайдене число, знайти значення лівої частини і порівняти з правою частиною: 4+5=9. 9=9. Ні в підручнику з математики, ні в методичних посібниках для вчителів не пишуть останнього рядка, а тому діти формально відносяться до виконання перевірки, тобто не обчислюють значення виразу, а зразу записують результат. Щоб цього не було, потрібно вимагати від дітей приблизно такого пояснення: сума чисел 4 і 5 дорівнює 9, а оскільки 9=9, то рівняння розв’язане правильно. Для того, щоб оволодіти уміннями навчати учнів розв'язувати рівняння, пропонуємо студентам виконати завдання №№ 11-15 для самостійної роботи.

Як же проводиться робота з формування в учнів уміння розв'язувати рівняння? - після введення першого рівняння розпочинається робота з формування умінь учнів їх розв’язувати. Поступово вводяться інші види найпростіших рівнянь на знаходження невідомих компонентів інших дій і складені рівняння різноманітних структур. З метою формування уявлень дітей про рівняння та умінь їх розв'язувати використовують такі вправи:

• читання рівнянь, яке відповідно до індивідуальних особливостей школярів можна проводити різними способами: 1) до якого числа треба додати 5 щоб одержати 9; 2) перший доданок невідомий, другий доданок 5, сума 9; 3) сума чисел х і 5 дорівнює 9;

• записування рівняння під диктовку вчителя;

• розв’язування рівнянь;

• використання рівнянь для розв’язування задач.

Покажемо, як можна ознайомити учнів з рівняннями складнішої структури на прикладі такого рівняння: х+5=8+4. Робота з учнями проводиться так: що невідомо у цьому рівнянні? – доданок. Чи можна зразу відшукати його? – ні. Чому його не можна знайти одразу? - бо слід знайти значення суми у правій частині. Чому дорівнює ця сума? – 12. Як запишеться тоді рівняння? - х +5=12. Чи можна тепер знайти невідоме? – так, х=12–5. х=7. Як визначити, чи правильно розв’язано рівняння? – зробити перевірку: 7+5=12, 9+3=12, 12=12. При розв’язуванні рівнянь виду х–21:3=7, в яких один із компонентів лівої частини є виразом, робота проводиться так: що невідомо у рівнянні? - зменшуване. Чи можна його зразу знайти? – ні, бо у лівій частині є вираз. Що будемо спочатку робити при розв’язуванні цього рівняння? – шукати значення виразу 21:3. Якого вигляду набуде рівняння? - х–7=7. Після цього слід запропонувати окремим учням продовжити роботу самостійно, а решта дітей працюватиме під керівництвом вчителя.

Як же вводяться рівняння найскладнішої структури, в яких ліва частина містить вираз, до якого входить невідоме число, наприклад: (х–12):3=25? - існують дві думки методистів відносно введення першого такого рівняння. Одна група методистів вважає, що рівняння найскладнішої структури слід вводити в готовому вигляді, а потім вчити дітей його читати і розв’язувати. Інші методисти стверджують, що перше рівняння найскладнішої структури повинне з’явитися на очах у дітей в результаті розв’язування складеної задачі. Залежно від рівня математичної підготовки учнів вчителі вправі вибирати один із шляхів. Розкриємо сутність ТМО другого підходу, бо він включає в себе перший.

З цією метою використаємо наступну тестову задачу: “У магазин привезли огірки. Після того, як продали 12 кг огірків, їх розклали порівно у 3 лотки по 25 кг огірків у кожному лотку. Скільки кілограмів огірків привезли у магазин?” Ознайомивши дітей з умовою, вчитель повинен перевірити усвідомлення школярами її сутності. Зробити це можна з допомогою наступних запитань: скільки огірків привезли у магазин? – невідомо. Як позначимо цю кількість огірків? – х. Скільки огірків продали? – 12 кг. Якщо привезли х кг, а продали 12 кг, то скільки кг огірків залишилось? - х–12. Що зробили з огірками, які залишилися? - розклали порівну у 3 лотки. Як знайти кількість кг огірків у кожному лотку? – слід загальну кількість кілограмів огірків поділити на загальну кількість лотків. Як це записати виразом? - (х–12):3. Що означає цей вираз? – кількість кілограмів огірків в одному лотку. А скільки кг огірків було у кожному лотку? - 25. Що позначає кожен із виразів (х-12):3 і 25? – кількість кілограмів огірків у кожному лотку. Що можна сказати про цю кількість? – вона однакова. Який знак можна поставити між цими виразами? – знак дорівнює. Як записати рівняння? - (х–12):3=25.

Після ознайомлення учнів із першим рівнянням такої структури розпочинається робота з формування умінь їх правильно читати та розв'язувати. Щоб правильно прочитати рівняння (х–12):3=25, потрібно з’ясувати, яка дія буде виконуватися останньою і як називаються компоненти цієї дії. Робити це слід так: яка дія виконуватиметься останньою? – ділення. Як називаються числа при діленні? – ділене, дільник, частка. Як прочитати ліву частину рівняння? - частка різниці невідомого числа і числа 12 та числа 3. Як прочитати все рівняння? - частка різниці невідомого числа і числа 12 та числа 3 дорівнює 25. Досить поширеною помилкою в практичній роботі вчителів є те, що роботу над такими рівняннями вони розпочинають із запитання “Що нам невідомо у цьому рівнянні?”. На що школярі відповідають: ділене. Хоча насправді у нас невідоме зменшуване. Щоб не допускати цього, вчитель повинен проводити роботу так: яка дія виконується останньою? - ділення. В якому із компонентів дії ділення знаходиться невідоме? – у діленому. Як знайти невідоме ділене? – частку помножити на дільник. Яке рівняння ми отримаємо? - (х-12)=25·3, а виконавши дії: х–12=75. Що невідоме в одержаному рівнянні? – зменшуване. Як його знайти? – до різниці додати від’ємник, тобто: х=75+12. Отже, х=87. Як зробити перевірку? - (87–12):3=75:3=25, 25=25, а тому рівняння розв’язане правильно.

Після введення першого такого рівняння розпочинаємо роботу з формуванням уміння розв’язувати такі рівняння. Програма не вимагає, щоб всі учні вміли розв’язувати рівняння такої структури. Їх лише треба ознайомити з такими рівняннями, які діти розв’язують під керівництвом вчителя. Але сильніші учні повинні розв’язувати такі рівняння самостійно. Для формування уміння навчати учнів розв'язувати рівняння найскладнішої структури пропонуємо студентам виконати завдання № 16 для самостійної роботи.

Спостереження за роботою вчителів, аналіз продуктів діяльності учнів яскраво свідчать, що значна частина школярів не усвідомлює до кінця сутності перевірки та не вбачає необхідності у її проведенні. У цьому можна переконатися, розглянувши записи, представлені у таблиці № 12.9. Так, вони свідчать про те, що в учнів не виникає сумнівів щодо висновку: правильне застосування правила знаходження невідомого компонента відповідної дії веде до знаходження правильного результату. Для того, щоб учні усвідомили сутність поняття “розв’язати рівняння” (розв’язати рівняння – це означає знайти таке число, при підстановці якого у дане рівняння одержуємо правильну рівність), “перевірка рівняння” та не орієнтувалися лише на правило знаходження невідомого компонента дії, використовують спосіб підбору, бо він зразу ж орієнтує учнів на усвідомлений та математично правильний підхід до розв’язання рівняння (підібране число слід перевірити).

Таблиця № 12.9.

5 + х = 8 х = 8 – 5 х = 2 5 + 2 = 8

х + 7 = 9 х = 9 – 7 х = 3 3 + 7 = 9

Аналіз системи діючих підручників з математики та вимог Державного освітнього стандарту початкової освіти дозволяє твердити, що в курсі математики початкових класів є задачі, які діти повинні розв’язати способом складання рівняння. Яка ж мета ознайомлення школярів із такими вправами? – показ універсального способу розв'язування задач; сприяння в оволодінні поняттям “рівняння”. Так само, як і при ознайомленні учнів з будь-яким новим питанням, введення способу розв'язування текстових задач за допомогою рівнянь вимагає відповідної підготовчої роботи. На цьому етапі формуються уявлення про рівняння як рівність, що містить невідоме число; діти навчаються складати числові рівності та нерівності; формуються уміння розв'язувати рівняння; складаються вирази за умовою задачі та обчислюються їхні значення.

Крім вправ, пов’язаних із розв’язуванням рівнянь, для формування уміння розв’язувати рівняння використовують і задачі, які слід розв’язувати складанням рівняння. Які ж задачі слід розв'язувати за допомогою рівнянь? – 1) задачі на знаходження невідомих компонентів арифметичних дій; 2) прості та складені текстові задачі, для яких є відповідна вказівка у підручнику. Який же порядок введення складених задач, які слід розв’язати способом складання рівняння? – а) задачі, в яких рівняння складається в прямій відповідності із умовою задачі; б) задачі інших типів.

Як використовуються рівняння для розв'язування задач? – сутність роботи вчителя покажемо на прикладі такої задачі “Після того, як із коробки вийняли 7 олівців, в ній залишилося 12 олівців. Скільки олівців було у коробці?”. Для того, щоб діти усвідомили зміст задачі проводимо з ними таку роботу: скільки олівців вийняли з коробки? – 7. Скільки олівців залишилося у коробці? – 12. Що слід визначити у задачі? – скільки олівців було у коробці. Як у математиці позначають невідомі числа? – буквами. Що позначимо буквою? – кількість олівців у коробці. Якою буквою позначимо кількість олівців у коробці? - буквою х. Скільки олівців вийняли із коробки? – 7. Більше чи менше стало олівців у коробці після того, як звідти вийняли 7 олівців? – менше. Як це записати виразом? - х-7. Що позначає цей запис? – кількість олівців, які залишилися у коробці. Скільки ж олівців залишилося у коробці? – 12. Що можна сказати про значення виразу х-7 і число 12? – вони позначають одну і ту ж саму кількість. Який знак можна поставити між ними? – знак “=” (дорівнює). Що ми отримали? – рівняння х-7=12. Як його розв’язати? - знайти невідоме зменшуване, додавши до різниці від’ємник, тобто х=7+12, х=19. Чи дали ми відповідь на запитання задачі? – так. Після того, як складено та розв’язано рівняння при розв’язуванні задачі, не потрібно робити перевірку правильності розв’язання рівняння. Аналогічна робота проводиться і при розв’язуванні складених задач. Оскільки її сутність ми розкрили при ознайомленні учнів із складеним рівнянням, то пропонуємо студентам виконати завдання № 17 для самостійної роботи.