3. Тмо вивчення довжини, способів її вимірювання, одиниць вимірювання та співвідношень між ними.

3. Спостереження свідчать, що перші уявлення про довжину виникають у дітей ще до школи, а тому завданням вчителя є виявлення, систематизація, уточнення та узагальнення, а інколи навіть і виправлення, наявних відомостей. Така робота проводиться вчителем у дочисловому періоді. Систематичні уявлення про довжину починають формуватися в учнів у першому класі при вивченні розділу “Дочисловий період”. Тут розкривається зміст поняття протяжності предметів в різних напрямках, наприклад: знизу – вверх  висота; зліва – направо  довжина. Тут формуються бінарні відношення, пов'язані з протяжністю – довший-коротший, однакові за довжиною; ширший-вужчий, однаковий за шириною; вищий-нижчий, однакові за висотою тощо. На цьому етапі навчання учням пропонується з’ясувати, який олівець довший, яке дерево вище, який предмет знаходиться далі, яка смужка вужча тощо. За допомогою таких вправ школярі демонструють своє вміння виділяти лінійну протяжність (довжину, ширину, висоту предметів, віддаль між ними), виробляється уміння порівнювати на практичній основі предмети за довжиною, узагальнюється властивість, за допомогою якої відбувається порівняння (протяжність, довжина). На основі одержаних даних повинна будуватися у подальшому особистісно-зорієнтована робота з формування понять про довжину, способи та одиниці її вимірювання.

ТМО ознайомлення з кожним новим поняттям передбачається дотримання трьох етапів: підготовча робота до введення цього поняття, ознайомлення з ним і формування відповідних знань, умінь і навичок. Саме тому формування уявлень школярів про довжину, про способи та процес її вимірювання, про одиниці її вимірювання повинно бути таким, щоб забезпечити: 1) показ природи виникнення поняття довжини; 2) постановку задачі про вимірювання довжини у зв'язку з життєвим досвідом дітей; 3) виділення з самого початку вивчення поняття найістотніших моментів (критерій порівняння відрізків; порівняння за довжиною; вимірювання довжини розпочинається з вибору одиниці довжини та приводить до числа – значення довжини при обраній одиниці довжини; розуміння того, що порівняння довжин відрізків зводиться до порівняння чисел, що дозволяє учням бачити нове застосування чисел). Сказане особливо важливе з огляду на те, що значна частина вчителів початкових класів досить часто плутають чи навіть ототожнюють поняття “довжина відрізка” та “одиниця вимірювання довжини”. Завдяки цьому формування уявлень про довжину зводиться лише до озброєння учнів знаннями про одиниці вимірювання та до формування реальних уявлень про них. Враховуючи сказане, розкриємо сутність ТМО вивчення цього питання в курсі математики початкових класів.

Коли ж розпочинається систематичне формування поняття довжини? – у першому класі й продовжується протягом вивчення курсу математики у початкових класах. Важливим кроком у формуванні даного поняття є знайомство з прямою лінією і відрізком, який є носієм такої властивості як лінійна протяжність і практично позбавлений інших властивостей. На жаль, аналіз методичних посібників для вчителів, навчальних посібників для студентів дозволяє твердити, що в них формування поняття “довжина” в основному зводиться до формування уявлень про вимірювання довжини відрізка. На нашу думку, з цим повністю погодитися не можна. Наслідком такого підходу слід вважати те, що значна частина вчителів початкових класів не розрізняє понять “довжина відрізка” та “одиниця вимірювання довжини”. Завдяки цьому процес формування уявлень про довжину зводиться до озброєння учнів вимірювальними навичками, до формування умінь користуватися вимірювальними інструментами, до уміння виконувати дії над іменованими числами, вираженими в одиницях вимірювання довжини. З огляду на сказане, спробуємо розкрити ТМО формування уявлень дітей про довжину, а пізніше – роботи, спрямованої на вироблення умінь і навичок проводити вимірювання.

Які ж закономірності необхідно віднести до ТМО формування поняття “довжина” у молодших школярів? Аналіз літератури з методики викладання математики у початкових класах дозволяє зробити висновок: для правильного формування уявлень учнів про цю властивість предметів навколишньої дійсності необхідне чітке розуміння кожним вчителем сутності поняття “довжина”. У школі під довжиною відрізка розуміють два однакових, але близьких поняття: міру відрізка та їхню властивість мати міру. Виходячи з цього, вчитель і школярі повинні в своїй мові вживати лише формулювання виду: “виміряйте відрізок” або “визначте довжину відрізка”. Сказане свідчитиме, що вчитель і діти розуміють сутність понять “довжина” та правильно застосовують відповідні терміни. Успішність правильного формування поняття “довжина” значною мірою залежить від усвідомлення вчителем відмінностей і зв'язку між поняттями “число” та “довжина”. Про це свідчитиме правильне застосування у мові вчителя таких понять як “відрізок” і ”довжина відрізка”. Завдання вчителя полягатиме в тому, щоб розуміти і підвести школярів до таких висновків: число, одержане в результаті вимірювання довжини, в математиці називають мірою довжини, але в результаті вимірювання ми визначаємо довжину відрізка. Саме тому слід говорити: “довжина відрізка дорівнює ...”. Отже, однією з головних закономірностей, без яких сформувати в учнів правильне уявлення про довжину відрізка неможливо, є чітке розуміння вчителем сутності понять “довжина” і “число”.

Наступною закономірністю, яку необхідно віднести до ТМО формування уявлень школярів про довжину та процес її вимірювання, є усвідомлення етапів, на яких це відбувається. Проведений теоретичний аналіз відповідної літератури (роботи М.Бантової, М.Богдановича, М.Моро, Л.Скаткіна, А.Пишкало та ін.) дозволяє обґрунтовано вказати наступні: 1) знайомство з геометричними фігурами, які мають властивість лінійної протяжності: пряма, крива, ламана, відрізок, многокутники тощо; 2) ознайомлення з одиницями вимірювання довжини та співвідношенням між ними; 3) формування вимірювальних навичок; 4) побудова геометричних фігур, які мають властивість лінійної протяжності; 5) розв'язування текстових задач, які пов’язані із знаходженням довжини побічним шляхом; 6) складання та заучування напам’ять таблиць мір довжини, а також формування умінь використовувати її для практичних потреб.

Окрім названих вище, до ТМО формування уявлень дітей про довжину та способи її вимірювання слід віднести принаймні наступні: 1) врахування логіки розміщення матеріалу, спрямованого на це, бо він розміщений по всьому курсу математики І-ІУ класів і не виділений в окрему тему; 2) формування такого абстрактного поняття як довжина відбувається на інтуїтивній основі, без заучування відповідних означень і формулювань; 3) абстрактність цього поняття обумовлює необхідність застосування таких форм, методів і прийомів навчання, які б враховували вікові та індивідуальні особливості молодших школярів, а саме: практичних методів навчання, прийомів матеріалізації абстрактних математичних понять, їх співставлення і протиставлення, їхнього порівняння тощо; 4) усвідомлення дидактичної мети кожної вправи, спрямованої на формування уявлень учнів про довжину та способи її вимірювання; 5) розуміння необхідності забезпечити різноманітність об’єктів для правильного формування вказаного поняття; 6) усвідомлення результатів, яких повинен досягти вчитель у цьому напрямку в знаннях, уміннях і навичках учнів.

Яка ж система вправ використовується для формування уявлень молодших школярів про довжину? – аналіз методичних посібників для вчителів, підручників з математики для початкових класів, навчальних посібників для студентів дозволяє обґрунтовано твердити, що вона включає принаймні наступні; 1) вправи, основне призначення яких полягає у формуванні уміння виділяти предмети, що мають лінійну протяжність, та порівнювати їх за цією властивістю, наприклад: який олівець довший?, яке дерево нижче? тощо; 2) завдання на порівняння смужок паперу, які спрямовані на формування умінь проводити порівняння за довжиною з допомогою накладання; 3) вправи на порівняння довжин відрізків накладанням, на око або на порівняння одиниць вимірювання, основне призначення яких полягає у формуванні поняття довжини та умінь проводити вимірювання; 4) завдання, в яких потрібно визначити довжину заданого відрізка, які поряд з формуванням вимірювальних навичок сприяють формуванню поняття довжини; 5) вправи на побудову відрізків, призначення яких в тому, щоб формувати креслярські навички, уміння вимірювати довжину та сприяти формуванню уявлень про довжину; 6) завдання на розпізнавання відрізків, з допомогою яких у дітей формується уміння виділяти об’єкти, що мають властивість лінійної протяжності; 7) вправи на визначення довжини ламаної чи периметра многокутника, які формують як вимірювальні навички, так і поняття про довжину; 8) завдання на перетворення складених іменованих чисел у прості і навпаки, основне призначення яких полягає у засвоєнні співвідношень між одиницями вимірювання довжини та у формуванні уявлень молодших школярів про довжину відрізка; 9) розв'язування текстових задач, пов’язаних з відстанню, швидкістю, часом, які опосередковано формують уявлення про довжину; 10) вправи на виготовлення моделей одиниць вимірювання довжини (1 см, 1 дм, 1 м) з наступним використанням цих моделей для проведення вимірювань чи побудови геометричних фігур, які спрямовані на формування реальних уявлень про одиниці вимірювання довжини, креслярських умінь і на формування поняття про довжину; 11) знайомство з речами, які формують реальні уявлення про 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км тощо.

Як же слід використовувати наведену систему вправ для формування уявлень учнів про довжину? – ТМО використання деяких вправ, які представлені вище, нами розкривалися у попередніх темах, а для деяких це буде зроблено у наступному. Саме тому зупинимося лише на тих, які мають безпосереднє відношення до формування поняття про довжину відрізка та процес його вимірювання. У вправах третьої групи на порівняння довжин відрізків можна виділити кілька видів: а) вправи, в яких пропонується провести порівняння довжин відрізків на око, наприклад: який із зображених на малюнку відрізків довший? коротший? Які відрізки мають однакову довжину? Проведені дослідження свідчать, що для правильного формування уявлень учнів про довжину та способи її порівняння вчителеві необхідно забезпечити різноманітність розміщення відрізків, що порівнюються, на площині та різноманітність відрізків за довжиною. На увазі мається те, що відрізки на площині повинні розміщуватися і вертикально, і горизонтально, і похило, і бути паралельними між собою, і бути не паралельними, і мати довжини, які легко порівнювати, і бути такими, щоб порівняння було провести важко. Сказане ілюструється даними таблиці № 9.1.

Таблиця № 9.1.

1 .

2 .

3.

4 .

5.

6.

7.

Працюючи за цією таблицею, вчитель відповідно до індивідуальних особливостей дітей свого класу проводить бесіду або пропонує учням самостійно її розглянути та обгрунтувати свої висновки щодо довжини відрізків. Перед учнями, які слабо засвоюють навчальний матеріал, можна поставити такі запитання: які геометричні фігури зображено на першому зліва малюнку таблиці? – відрізки. Який з них має меншу довжину? – верхній. Чому ви так вважаєте? – бо при суміщенні початків це буде добре видно. Що можна сказати про нижній відрізок? – він довший за верхній. Важливо, щоб після цього вчитель ознайомив учнів з таким висновком: якщо один відрізок довший, то другий коротший. Після цього цей висновок повинні сформулювати кілька учнів. Таку ж роботу слід проводити за кожним випадком таблиці.

Серед представлених у таблиці № 9.1. є випадки, в яких провести порівняння довжин відрізків на око досить важко, бо їхні довжини відрізняються дуже мало. Призначення вправ такого виду в тому, щоб підвести дітей до необхідності відшукання нових способів порівняння. Спостереження за роботою вчителів дають підстави твердити, що зробити це потрібно за допомогою бесіди: що можна сказати про відрізки у випадках 3, 4, 5, 7? – їхні довжини порівняти на око важко. Як же порівнюються довжини відрізків у таких випадках? – учні можуть запропонувати принаймні два варіанти: накласти один відрізок на інший або виміряти довжини кожного з відрізків і порівняти одержані значення довжини. Як же порівняти відрізки, зображені на малюнку, накладанням? – можна використати додаткову смужку, приклавши її спочатку до одного відрізка, а потім – до іншого. Чи вміємо ми вимірювати довжину відрізка? – ще ні, але пізніше навчимося це робити. З метою формування умінь проводити відповідну роботу пропонуємо студентам виконати завдання № 1 для самостійної роботи.

Як же використовувати вправи четвертої групи для формування уявлень молодших школярів про довжину та процес її вимірювання? – у методиці доцільно виділити три етапи оволодіння основними вимірювальними знаннями, вміннями і навичками. Ці етапи такі: 1) вимірювання довжини відрізка за допомогою набору моделей сантиметра; 2) вимірювання довжини відрізка масштабною лінійкою без цифрової шкали; 3) вимірювання довжини відрізка масштабною лінійкою з цифровою шкалою. Відповідно до вказаних етапів у вправах цього виду можна виділити принаймні наступні групи: а) завдання, в яких слід виміряти довжину відрізка за допомогою моделі одиниці вимірювання, наприклад: використовуючи модель сантиметра, виміряй довжину заданого відрізка; б) вправи, в яких довжину заданого відрізка вимірюють спеціальною лінійкою з поділками без цифрового їх позначення; в) завдання на вимірювання довжин заданих відрізків за допомогою масштабної лінійки. Ці прийоми формуються в процесі лабораторних робіт, що виконуються індивідуально кожним учнем під керівництвом вчителя. У кожного учня повинен бути конверт з набором кількох великих різнокольорових смужок, і десяти невеликих смужок, які використовуватимуться як мірки, але які не обов'язково дорівнюють 1 см. Їх називають мірками, а з їхньою допомогою пропонується вимірювати довжину великих смужок: вкладаючи послідовно мірку у смужці одну біля одної, підраховують кількість мірок. За допомогою таких вправ з’ясовується практичне значення вимірювання, учні дістають реальні уявлення про сантиметр, формуються правильні уявлення про процес вимірювання довжини.

Для успішної роботи на другому етапі формування вимірювальних навичок використовується спеціальна лінійка, яка може бути виготовлена з цупкого паперу або із звичайної масштабної лінійки, на яку наклеюють папір з сантиметровими поділками. Лінійку прикладають так, щоб одна з поділок лінійки співпадала з початком відрізка. Результат вимірювання визначають, підрахувавши число поділок лінійки від тієї, що співпадає з початком, до тієї, що співпадає з кінцем відрізка. Використання цього прийому дозволяє запобігти досить поширеним помилкам учнів, коли вони при вимірювання довжин відрізків не суміщають його початок з нульовою поділкою, а результат вимірювання зчитують навпроти кінця відрізка. Відсутність цифрових позначок на шкалі спонукає дітей точно суміщати початкову позначку, відлічувати кожну мірку й називати здобуте число. На третьому етапі головну увагу слід приділити відпрацюванню операцій: суміщення початку відліку на лінійці з початком відрізка, який вимірюють; правильне спрямування погляду на шкалу лінійки. ТМО роботи вчителя з вправами 5-11 груп буде розкрито при вивченні відповідного матеріалу.

Як же вводяться одиниці вимірювання величин? – за зразком у вигляді відповідної моделі. Аналіз методичної літератури дозволяє стверджувати про наявність двох методичних підходів щодо введення першої одиниці вимірювання довжини. Деякі методисти вважають, що першою одиницею вимірювання довжини, з якою слід ознайомити учнів, слід обирати 1 м. Свою думку вони обґрунтовують тим, що, по-перше, 1 м – це основна одиниця вимірювання довжини у системі “SI”, по-друге, ця одиниця вимірювання найчастіше зустрічається у повсякденному житті дітей, по-третє, 1 м існує у вигляді окремого еталона, по-четверте, з допомогою 1 м легко показати сутність процесу вимірювання довжини. Разом з тим, за допомогою 1 м в умовах класу важко провести з кожним школярем достатню для формування уміння вимірювати довжину кількість вправ. Інша група методистів обстоює думку про необхідність ознайомлення учнів спочатку з моделлю 1 см. На їхню думку, це дасть змогу провести достатню кількість вимірювань в умовах класу, щоб сформувати уміння вимірювати довжину. Окрім цього будуть використовуватися життєві спостереження дітей. Вчителі можуть обирати будь-який з розглянутих варіантів. У підручниках з математики М.Богдановича реалізовано другий підхід. Принагідно зазначимо, що нам невідомі дослідження, які б з достатньою мірою обґрунтованості експериментально довели перевагу того чи іншого з наведених варіантів.

З іншого боку вчитель повинен знати, що експериментальними дослідженнями доведено: недоцільно поспішати з введенням загальноприйнятих одиниць вимірювання довжини. Це пояснюється тим, що з точки зору вимірювання довжини відрізка жодна з одиниць не має переваг перед іншими. Так, навіть у старших класах значна частина учнів не може дати відповіді на запитання: чи може довжина одного й того ж відрізка виражатися і числом 4, і числом 12? Причинами такого явища є, по-перше, недостатня сформованість уявлень про довжину, по-друге, неусвідомлення сутності поняття вимірювання довжини, по-третє, нерозуміння того факту, що вимога знайти довжину відрізка у сантиметрах, дециметрах, метрах тощо відрізняється від завдання знайти довжину даного відрізка тим, що право вибору одиниці довжини надається тому, хто вимірює. У результаті практичних робіт з вимірювання довжини різноманітними мірками учнів слід підвести до необхідності введення єдиної одиниці вимірювання довжини. Для формування правильних уявлень школярів про величини, зокрема і про довжину, та про число важливо коректно використовувати самі терміни “число” і “величина”. Саме тому, використовуючи вправи виду “порівняйте числа 76 і 40, 25 см і 2 дм, 100 і 99”, коректніше формулювати завдання так: “порівняйте числа 76 і 40, 100 і 99” чи “порівняйте величини (чи довжини) 25 см і 2 дм. Такий підхід допоможе запобігти вказаним помилкам.

Я к же вводяться одиниці вимірювання довжини? - оскільки ознайомлення з кожною новою одиницею вимірювання довжини відбувається приблизно за одним і тим самим планом, то покажемо це на прикладі введення 1 см. Підготовчою роботою до цього є проведення вправ на порівняння відрізків різними способами. Перед тим, як ввести першу одиницю вимірювання довжини, слід показати учням необхідність в її введенні. З цією метою слід запропонувати кільком учням виміряти відрізки однакової довжини за допомогою різних мірок (корисно, щоб такі відрізки було важко порівняти накладанням, але, щоб на око їх довжини були приблизно однаковими). У концентрі "Десяток" програмою передбачено ознайомити учнів із узагальненим поняттям "довжина", яке стосується вимірювання відрізків, розташованих на площині в різних положеннях. Вчитель повинен повідомити тут такі положення: 1) протяжність предметів у будь-якому напрямку називають довжиною. 2) для вимірювання довжини існують спеціальні мірки. Ми ознайомимося із міркою 1 см: 1 см – це протяжність двох клітинок; 1 см – це ширина вказівного пальця учня; 1 см – це маленька смужка (модель якої вчитель демонструє); 1 см – це відстань на лінійці між двома сусідніми поділками.

│--│--│--│--│--│ │--│ │--│--│--│

0 1 2 3 4 5 1см 3см