2.4. Функция и отношение правдоподобия при различении сигналов на фоне аддитивного нормального шума

Существенным действием в работе различителя оказывается вычисление ФП W(у(t)/Н_i). ФП - единственная из всех используемых различителем функций, зависящая от вида принятой реализации и вследствие этого случайно, непредсказуемо меняющаяся от опыта к опыту. После формирования ФП различитель либо непосредственно приступает к при­нятию решения (правило МП), либо предварительно вычисляет апостериорные вероятности (правило МАВ) или условные средние риски (2.9). В последних случаях помимо найденной в данном опыте ФП приходится учитывать заранее заданные константы (ап­риорные вероятности p_i и риски П_ik), не зависящие от конкретной реализации и не меняющиеся от опыта к опыту. Нахождение ФП в условиях, когда помеха полностью статистически задана и оператор взаимодействия сигнала и помехи F[] конкретизирован, принципиально не представляет труда. Напомним, что ФП есть условная ПВ (функционал ПВ) наблюдаемого процесса при условии истинности H_i, рассматриваемая для фиксированной реали­зации y(t) как функция номера гипотезы i. Таким образом, если имеется выражение функционала ПВ W(y(t)/H_i), задающее «вероятности» тех или иных реализаций y(t) при условии истинности i-и гипотезы, то получение ФП сводится к подстановке в него данной наблюдаемой реализации и варьированию i в пределах от 0 до М- 1.

Дальнейшее рассмотрение процедур различения и об­наружения сигналов будет вестись применительно к помехе в виде аддитивного нормального (гауссовского) шума. Аддитивность означает, что помеха складывается с сиг­налом, так что под F [] понимают обычную алгебраи­ческую сумму сигнала и помехи. Разумеется, можно указать практические задачи, где механизм взаимодействия сигнала с помехой иной, однако модель аддитивных помех описывает наибольшее число реальных ситуаций и потому представляет основной интерес в статистической теории радиосистем. Будем считать шум белым. При этом выражения для ФП и ОП можно получить с использованием функционала ПВ (1.10).

Детерминированные сигналы. При различении М детер­минированных сигналов на фоне аддитивного шума гипотеза H_i, означает, что y(t) = x(t) + S_i(t), т.е. x(t)=y(t) - s_i(t). Поэтому из выражения (1.10) для ФП получаем

, (2.19)

где подчеркнуто, что y(t) — s_i(t) под­ставляют в функционал ПВ помехи x(t)=n(t). Это позволяет дать наглядную интер­претацию правила МП (2.13): для данной реализации y(t) принимают решение о присутствии в ней того из М сиг­налов, который наименее уклоняется от y(t). При этом мерой уклонения является энергия разности y(t) и s_i(t). Для дальнейшего использования ФП удобно предста­вить в форме, следующей из (2.19) после раскрытия скобок под интегралом:

(2.20)

где - энергия i-ro сигнала;

- корреляционный интеграл принятой реализации и i-го сигнала;

- коэффициент, зависящий от y(t), но не от i, и потому не влияющий на решения, принимаемые согласно (2.15) по результатам сравнения значений соответствующих функций i (условного среднего риска, апостериорной веро­ятности, ФП), вычисленных для конкретной наблюдаемой реализации y(t).

Смысл корреляционного интеграла: если y(t) и S_i(t), согласно современным концепциям теории сигналов, рассматривать как векторы в бесконечномерном евклидо­вом пространстве, то z_i окажется их скалярным произ­ведением, т. е. величиной, характеризующей близость, сход­ство y(t) и s_i(t). Отсюда вытекает следующая физическая трактовка правила МП применительно к различению М детерминированных сигналов равной энергии (E_i = E, i=0, 1,..., М-1): принимают решение о наличии в y(t) того сигнала, который имеет наибольшее сходство с y(t).

В частном случае обнаружения детерминированного сигнала M=2, s₀(t)=0, z₀ = 0, E₀=0 и, согласно (2.20), W(y(t)/H₀)=c_y. Соответственно , и

Подставив это выражение в (25), для ОП получим

(2.21)

где индекс 1 у z и E опущен, так как ненулевой сигнал единственный и может быть обозначен как s(t).

Сигналы со случайными параметрами.

ФП при различении сигналов со случай­ными параметрами, априорные распределения которых заданы, может быть получена усреднением ФП, построен­ной для детерминированных сигналов. При конкретных значениях неизвестных параметров i-го сигнала последний становится детерминированным и, согласно (2.20),

где - энергия i-ro сигнала с фиксированным и равным θ_i значением вектора неизвестных параметров;

- корреляция y(t) с i-м сигналом, имеющим фиксированное и равное θ_i значение вектора неизвестных параметров.

Согласно (28) (2.22)

в частном случае обнаружения ненулевого сигнала, повторив рассуждения, приведенные в конце предыдущего пункта, придем к выражению для ОП

(2.23)

где z(θ) — корреляция y(t) с обнаруживаемым сигналом s(t; θ₁) при фиксированном и равном θ значении вектора его неизвестных параметров; E(θ) - энергия сиг­нала s(t;θ); W₀(θ) - априорная ПВ вектора случайных параметров θ обнаруживаемого сигнала. Действия, выпол­няемые согласно (33), соответствуют усреднению ОП для детерминированного сигнала с фиксированными значе­ниями θ по всем возможным значениям θ. Поэтому правило (2.23) часто называют усредненным ОП.

Изложенные принципы обнаружения и различения сигналов в следующей главе будут конкретизированы применительно к различным моделям сигналов. При этом главная цель будет состоять в отыскании алгоритмов работы оптимальных устройств и определении их качест­венных показателей. Для обнаружителей это будут вероятности ложной тревоги р_лт и пропуска сигнала р_пс или правильного обнаружения [принятия решения о наличии сигнала в y(t) при условии, что он там действительно присутствует] р_по = Р( /H₁) = l - p_пc.

Качество работы раз­личителен будет характеризоваться вероятностями перепутывания p_ik = P( \H_i) гипотезы H_i о приеме сигнала s_i(t) с гипотезой H_k о приеме сигнала s_k(t) или вычисленной на основе этих вероятностей и априорных данных полной вероятностью ошибки Р_ош (2.2).