Выводы по главе:

1. Статистическая теория РТС позволяет ответить на вопрос о том, как наилучшим образом использовать пространственные, и временные свойства сигналов и помех, т. е. наиболее эффективно скомпоновать элементы приемных и передающих антенн (например, фазированных решеток) в отведенных областях пространства и в то же время оптимально сформировать и обработать все подводимые к антеннам и снимаемые с них электрические колебания.

2. Преобразование Гильберта сигнала s(t) - есть реакция на сигнал s(t) четырехполюсника (гильбертова фильтра) с коэффициентом передачи (f) = -j sign f, не вносящего амплитудных искажений и сдвигающего фазы всех гармонических составляющих s(t) на один и тот же угол - π/2:

Вопросы для самоконтроля:

Вопрос 1. Какой смысл вкладывается в радиотехнике в термины «сигнал», «помеха», «помехоустойчивость»? Для каких функций существует интеграл Фурье? Отталкиваясь от трактовки гармонического колебания как проекции вектора, вращающегося с постоянной скоростью, попытайтесь дать геометрическую интерпретацию понятию гильбертовой огибающей.

Рассматривая преобразование Гильберта как интеграл наложения (свертки, Дюамеля), покажите физическую нереализуемость гильбертова фильтра.

Вопрос 2. Объясните смысл функционала ПВ случайного процесса и его преемственность по отношению к многомерным ПВ. Какие детерминированные векторно-матричные величины и в каком количестве полностью описывают вероятностные свойства нормального случайного вектора? Что такое обратная корреляционная функция и как она участвует в вероятностном описании гауссовского случайного процесса?

Вопрос 3. Что представляет собой обратная корреляционная функция белого гауссовского шума и как классифицируются реализации последнего по «вероятности»?

Методические рекомендации.

Изучив материал главы, ответьте на вопросы. При возникновении трудностей обратитесь к материалам для закрепления знаний в конце пособия. Для углубленного изучения воспользуйтесь литературой:

основной: 1 – 3; дополнительной: 4 – 6 и повторите основные определения, приведенные в конце пособия.

Глава 2. Основы теории обнаружения и различения сигналов

2.1. Содержание и классификация задач обнаружения и различения сигналов

Несмотря на многообразие целевых назначений, видов и принципов работы современных радиоэлектронных систем, в их функционировании можно выделить целый ряд операций, поддающихся унифицированному исследованию: процедуры обнаружения и различения сигналов.

Под обнаружением сигнала в радиоэлектронике понимают анализ принятого колебания y(t), завершающийся вынесением решения о наличии или отсутствии в нем некоторой полезной составляющей, которую и называют сигналом. Различение М сигналов определяют как анализ принятого колебания y(t), заканчивающийся принятием решения о том, какой именно из М сигналов, принадлежа­щих указанному заранее множеству присутствует в y(t). Нетрудно видеть, что обнаружение сигнала есть частный случай различения двух сигналов, один из которых равен нулю на всем интервале наблюдения. Характерными практическими примерами вы­полнения указанных действий являются обнаружение отраженных от целей сигналов в радио- и гидролокации, обнаружение сигналов опорных маяков в радионавигации, различение М передаваемых посылок в системах цифровой связи и т. д.

Вероятностный характер наблюдаемого колебания y(t) приводит к тому, что любой различитель или обнаружитель, сколь бы тщательно он ни был спроектирован, не застрахован от ошибок. Таким образом, любой различи­тель время от времени выносит решения, не соответствую­щие действительности, считая, что в наблюдаемом колебании присутствует k-й сигнал, тогда как в действительности в y(t) содержится i-и сигнал. Разрабатывая тот или иной различитель, следует стремиться так выбрать стратегию его работы, чтобы вредные последствия, связанные с указанными ошибками, были минимальными. В поисках подобных стратегий инженеры обращаются к теории статистических решений (выводов), точнее к разделу этой теории, посвященному проверке гипотез.

Теория проверки гипотез служит методологическим базисом всех исследований по обнаружению и различению сигналов. Незначительно адаптируя язык теории статисти­ческих решений к форме, более привычной для радиоспе­циалистов, можно так сформулировать задачу проверки М гипотез. Пусть наблюдаемое колебание y(t) является реализацией случайного процесса, который имеет распреде­ление W_y, т. е. n-мерную ПВ W(y) [либо функционал ПВ W(y(t))], принадлежащее одному из М непересекаю­щихся классов Wi. Необходимо, пронаблюдав реализацию y(t), решить, какому из классов принадлежит Wy. Предпо­ложение о том, что Wy принадлежит W_i, называют гипотезой H_i: W_y W_i. Решения, являющиеся результатом проверки гипотез, будем далее обозначать где i {0, 1, ..., М-1} - номер гипотезы, истинность которой деклариру­ется принятым решением. Частный случай М=2 называют двухальтернативным или проверкой гипотезы H₀ относи­тельно альтернативы H₁. Если М>2, то проверку гипотез называют многоальтернативной. Параллели между проверкой гипотез и различением сигналов в радиотехнике очевидны, если учесть, что, согласно (1), анализируемое различителем колебание y(t) является результатом взаимо­действия присутствующего в нем сигнала s(t) с мешающим случайным процессом (помехой, шумом) x(t): y(t) = F[s(t), x(t)]. От того, какой из М возможных сигналов присутствует в y(t), зависит ПВ ансамбля, которому принадлежит у(t), так что каждому S_i(t) соответствует некоторый класс W_i распределений ансамбля, представляемого y(t). Таким образом, гипотезы Н_i, в терминах различения сигналов трактуются как предположения о на­личии i-го (и только i-го) сигнала в y(t) (H_i: y(t) = F[s_i(t), x(t)]). При этом решения , одно из которых служит итогом процедуры различения, есть утверждения о том, что в принятом колебании содержится именно i-й сигнал. В частном случае обнаружения гипотезы H₀ и H₁ выражают предположения об отсутствии и на­личии сигнала в y(t): соответственно решения и означают утверждение, что сигнала в у (t) нет или сигнал в y(t) есть. Идентичность содержания задач проверки гипотез и различения сигналов объясняет прямое использование терминологии теории решений в литературе по обнаруже­нию и различению сигналов.

Как отмечалось, проектировщики ищут в теории решений ответы на вопрос об оптимальных в определенном смысле действиях при различении сигналов. В свою очередь, рекомендации, даваемые теорией проверки гипо­тез, в сильной степени зависят от мощности и способа задания классов W_i отвечающих гипотезам Н_i. Гипотезу Н_i называют простой, если класс W_i, содержит одно и только одно распределение. Любую другую гипотезу называют слож­ной. М сложных гипотез называют параметрическими, если соответствующие им классы отличаются друг от друга только значениями конечного числа параметров одного и того же распределения, описываемого известным законом. В противном случае гипотезы именуют непара­метрическими. Так, два класса W₀ и W_l состоящие толь­ко из нормальных одномерных ПВ

,

причем в W₀ входят все W(y) с нулевым средним, а = 0 и любыми дисперсиями σ²>0, а в W_l - с положительным средним, а>0и σ²>0, отвечают двум параметрическим гипотезам H₀ и Н₁. В то же время классы W₀ и W_l содержащие все симметричные и несимметричные одномерные ПВ, соответствуют двум непараметрическим гипотезам H₀ и Н₁, так как эти классы различаются более чем значениями конечного числа пара­метров фиксированной ПВ. Далее рассмотрим только те задачи различения сигналов, которые удается свести к проверке простых гипотез. Таковыми, в частности, являются различение детерми­нированных сигналов, а также сигналов со случайными распределенными по известному априори закону пара­метрами.