4.3. Критерии оценки неслучайных параметров сигналов и граница Крамера-Рао

Как следует из § 4.2, основным в байесовской теории оценок является допущение о том, что оцениваемые параметры — случайные величины и их априорная ПВ известна. В априорной ПВ содержится информация, источником которой служат наблюдения, предшествующие данному измерению. Реальные обстоятельства, однако, нередко складываются так, что наблюдатель не обладает надежной априорной информацией о υ. Такая картина характерна, например, для оценки каких-либо физических величин, не измерявшихся ранее вообще или измерявшихся в иных условиях. Например, обширная статистика метеообразований в экваториальной области Земли не может рассматриваться как достоверная априорная информация для метеолокатора, работающего в приполярных широтах; сведения, полученные с помощью радиотелескопа, просматривающего один сектор небесной сферы, нельзя использовать как априорные при переходе к другому сектору и т. п. Незнание априорной ПВ X исключает возможность нахождения байесовских оценок, так как воспользоваться равенством (4.14) для построения апостериорного распределения при этом не удается. Можно, конечно, в этом случае применить так называемые минимаксные оценки, гарантирующие непревышение средним риском при любых ПВ определенного значения. Однако отыскание таких оценок не просто и, кроме того, сами минимаксные оценки нередко излишне осторожны, минимизируя средний риск для «плохих» W ценой существенного завышения П для остальных.

Радикальным способом преодоления трудностей, обусловленных отсутствием априорных данных, является полный отказ от интерпретации измеряемых параметров как случайных величин и переход к небайесовским критериям качества, не требующим предписываемого формулами (4.5), (4.6) усреднения риска по значениям измеряемой величины X. Один из таких критериев, весьма продуктивный и в наибольшей мере адекватный общепринятому взгляду на качество физических измерений, базируется на требованиях несмещенности и минимума условной дисперсии оценки. При измерении физической величины экспериментатор, как правило, старается придерживаться такой методики, при которой результат измерения не содержит систематической погрешности. Это стремление формально можно выразить условием несмещенности оценки для любых возможных истинных значений оцениваемого параметра υ. Усреднение проводится по всем колебаниям y(t).

Таким образом, каким бы ни было действительное значение параметра, его оценка в среднем не должна отличаться от X.

Введенные условия в совокупности можно трактовать как единый критерий качества, предписывающий считать оптимальной ту оценку, для которой одновременно выполнены условия

(4.13)

(4.14)

Такая оценка будет иметь потенциальную, т. е. наивысшую возможную, точность. Подобный критерий в общем случае не ведет столь же явно, как байесовский, к конкретным правилам оценки. В то же время для ряда важнейших практических задач вытекающие из него решения оказываются достаточно простыми Основу их составляет соотношение, называемое первенством (границей) Крамера-Рао и устанавливающее нижний предел условной дисперсии несмещенной оценки параметра.

(4.15)

Это выражение и определяет границу Крамера — Рао. Несмещенную оценку, для которой неравенство (4.15) превращается в равенство, называют эффективной. Необходимым и достаточным условием эффективности оценки служит обращение в равенство неравенства Буняковского – Шварца, возможное тогда и только тогда, когда

(4.16)

где k(υ) — некоторая функция υ, [но не y(t)].

Величину (4.24) называют информацией Фишера. Таким образом, никакая несмещенная оценка не может обладать условной дисперсией, меньшей величины, обратной информации Фишера.