Выводы по главе:

1. Диапазон применений алгоритма Калмана в современных информационных системах чрезвычайно широк. Хотя для доказательства его оптимальности при байесовском подходе пришлось оговорить нормальность помехи, он обладает определенными оптимальными свойствами и по отношению к любым аддитивным помехам.

Вопросы для самоконтроля:

Вопрос 1. В чем достоинство фильтра Калмана?

Вопрос 2. Поясните уравнение наблюдения?

Вопрос 3. Приведите границу Крамера-Рао?

Вопрос 4. Перечислите основные свойства ОМП.

Вопрос 5. Какие функции потерь используются?

Методические рекомендации.

Изучив материал главы, ответьте на вопросы. При возникновении трудностей обратитесь к материалам для закрепления знаний в конце пособия.

Для углубленного изучения воспользуйтесь литературой:

основной: 1 – 2; дополнительной: 4 – 12 и повторите основные определения, приведенные в конце пособия.

Глава 5. Разрешение сигналов

5.1. Понятия разрешающей спососбности

Как известно, в активных радиолокаторах решение о наличии цели в данном секторе пространства выносится в том случае, когда при зондировании (облучении) этого сектора приемник локатора улавливает эхосигнал, отраженный целью. При этом время запаздывания и доплеровский сдвиг эхосигнала относительно зондирующего сигнала содержат сведения о расстоянии до цели и ее радиальной скорости, а положение нормали к фронту отраженной целью волны - о ее угловых координатах. Предположим, что на каком-то зондируемом направлении оказались две близко расположенные цели. Тогда разность времен запаздывания соответствующих им эхосигналов (пунктир на рис. 5.1,б) относительно зондирующего сигнала s (t) (рис. 5.1, а) может оказаться меньше длительности последнего, так что эхосигналы наложатся друг на друга, образовав суперпозицию (штрихпунктир на рис. 5.1,б).

Рис.5.1. Маскирующие свойства наложения

Поскольку названная суперпозиция искажается шумом, неизбежно сопутствующим приему, в результирующем колебании y(t) (сплошная линия на рис. 5.1,б) довольно трудно «разглядеть» присутствие именно двух сигналов, а не одного. При большем числе накладывающихся эхосигналов отмеченная трудность усугубляется. Таким образом, определение числа сигналов в наблюдаемой реализации и измерение параметров каждого из них при перекрытии сигналов существенно сложнее, чем в том случае, когда индивидуальные эхосигналы в достаточной мере разнесены по времени запаздывания. В этом и состоит проблема разрешения по запаздыванию, т. е. выделения полезной информации, заключенной в каждом из наложившихся сигналов, отличающихся друг от друга временем запаздывания. Можно ввести понятие разрешения сигналов по углу (направлению прихода), с которым приходится иметь дело в локаторах, просматривающих заданный сектор с помощью последовательно перемещающегося в пространстве (сканирующего) луча: эхосигналы от двух целей, расположенных на угловом расстоянии, сравнимом с шириной луча, вновь могут перекрыться друг с другом, что приведет к уже упомянутым последствиям. При этом, пытаясь извлечь необходимые сведения о каждом входящем в принимаемую суперпозицию сигнале, наблюдатель опирается на тот факт, что отличительным признаком индивидуального сигнала является направление прихода. Если, например, наблюдатель знает априори, что эхосигналы, которые могут наложиться, отличаются друг от друга доплеровским смещением частоты и на этой основе строит стратегию определения числа наблюдаемых сигналов и их параметров, то уместно говорить о разрешении по частоте. Характерны для локаторов и такие комбинации, как совместное разрешение по времени запаздывания и углу, времени запаздывания и частоте и т. п.

Ссылка на локационные системы в связи с понятием разрешения не случайна. Именно в локации проблемы разрешения встают особенно остро. Помимо того, что современные радиолокаторы должны решать такие прямо формулируемые на языке разрешения задачи, как определение числа, параметров движения и типов самолетов и кораблей в ордере, локационные наблюдения целей к тому же всегда ведутся на фоне смеси паразитных эхосигналов, отраженных морской и земной поверхностями, различными местными предметами, постройками, специально разбрасываемыми маскирующими отражателями и т. д. Очевидно, все мешающие эхосигналы однотипны с полезными и выделить информацию, содержащуюся в последних, можно лишь учтя различие параметров (времени запаздывания, доплеровского сдвига и пр.) полезных и мешающих эхосигналов. Таким образом, обработку локационных сигналов на фоне совместно действующих флуктуационных шумов и мешающих отражений можно рассматривать как разновидность разрешения.

Вместе с тем относить вопросы разрешения исключительно к задачам локации было бы неверно. С необходимостью раздельного извлечения информации из налагающихся друг на друга однотипных сигналов приходится сталкиваться в различных радиоэлектронных системах. В радионавигации и связи приходится разделять многолучевые сигналы, образующиеся за счет многомодового распространения радиоволн на трассе передатчик-приемник, в системах управления воздушным движением самолетный приемник должен «разглядеть» в потоке ответных сигналов маяка-ответчика сигнал, адресованный ему, на фоне однотипных ответов другим самолетам и т. д. В итоге целесообразно дать такое обобщающее определение понятию разрешения: разрешение сигналов по параметру (в общем случае векторному). есть извлечение информации из каждого из наблюдаемых одновременно однотипных сигналов, использующее тот факт, что образующие суперпозицию индивидуальные сигналы отличаются друг от друга значениями υ.

Если конкретизировать понятие «извлечение информации», выяснится, что разрешение всякий раз выливается в уже рассматривавшиеся ранее процедуры различения, измерения параметров, обнаружения сигналов. Действительно, пусть известно, что в y(t) присутствует не более n однотипных сигналов, у каждого из которых значение υ принадлежит своей области Л1; Л2, ..., Л. Если извлечение информации означает выяснение того, сколько и каких именно сигналов действительно содержится в наблюдении y(t), то эту задачу можно интерпретировать как проверку М=2ⁿ гипотез, т.е. обычное различение М=2ⁿ некоторых новых сигналов представляющих собой исходные, суммы всевозможных пар исходных, троек исходных и т.д.

Если число k: и номера i₁ i₂, ..., i_k разрешаемых сигналов установлены и извлечение информации состоит в измерении параметров каждого из них, то следует говорить об измерении некоторого результирующего, эквивалентного многомерного [составленного из векторов информационных параметров всех сигналов s_i (t; υ)] информационного параметра υэ суммарного сигнала , что вновь означает переход к традиционным процедурам оценки либо фильтрации параметров сигналов. Таким образом, введенное ранее определение дает статистическую трактовку разрешения на языке уже изучавшихся «стандартных» процедур извлечения информации. Не выходя за рамки статистического подхода, можно вложить в понятие разрешения несколько более узкий смысл. Так, решение вопроса о числе и номерах присутствующих в у (t) сигналов из прежнего множества (s; (t, υ) : :i=l, 2, ..., n) можно трактовать как параллельное обнаружение каждого из n сигналов. При этом сложная гипотеза об отсутствии в у (t) конкретного i-го сигнала s_i (t; υ) независимо от наличия или отсутствия остальных проверяется по отношению к альтернативе о наличии S_i (t, υ) в у (t) безотносительно к тому, есть в у (t) другие сигналы или нет. Очевидно, при каждой процедуре обнаружения все сигналы, кроме обнаруживаемого i-го, выступают в роли мешающих, т. е. являются помехой. Аналогично, измерение параметров индивидуальных перекрывающихся сигналов можно разбить на ряд параллельных измерений параметров каждого отдельно взятого i-го сигнала, считая по отношению к нему все остальные сигналы, входящие в наблюдаемую суперпозицию, помехами. Такая интерпретация разрешения по параметру позволяет определить его как обнаружение либо измерение параметров некоторого полезного сигнала в условиях совокупного мешающего воздействия флуктуационных шумов и помех в виде суперпозиции копий полезного сигнала, отличающихся от последнего значениями υ. Термин «разрешающая способность» при этом означает способность к выполнению соответствующей функции (обнаружения, измерения параметров) в присутствии помех названной природы. Иногда используют уточняющие названия «разрешение — обнаружение» и «разрешение— измерение» [12], желая этим подчеркнуть, что в первом случае целью разрешения служит установление факта наличия i-го сигнала в наблюдении y(t), во втором — измерение параметров этого сигнала.

Статистическое толкование разрешающей способности учитывает конечные цели обработки наблюдений в радиоэлектронных системах и является более содержательным, чем заимствованное из классической оптики детерминистическое. Напомним, что, согласно введенному У. Рэлеем классическому определению, разрешающая способность оптических приборов «есть способность этих приборов давать раздельные изображения двух близких друг к другу точек объекта», причем «наименьшее линейное или угловое расстояние между двумя точками, начиная с которого их изображения сливаются», может служить количественной мерой разрешающей способности.

Если попытаться отнести подобное определение к радиоэлектронным приборам, то получится примерно следующее: разрешающая способность радиоэлектронного прибора есть способность давать такой суммарный отклик на суперпозицию двух отличающихся значениями параметра сигналов, в котором просматриваются два максимума, соответствующих отдельным сигналам. Мерой разрешающей способности при этом может служить минимальная разница значений i накладывающихся сигналов, при которой указанные два максимума еще не воспринимаются как один.

Несмотря на принципиальные различия статистического и детерминистического подходов к проблеме разрешения, практические выводы, получаемые на их основе, нередко совпадают. Причиной этого является то, что статистические и детерминистические характеристики разрешающей способности находятся в сильной зависимости от одной и той же величины — функции неопределенности сигнала по параметру υ (см. гл. 3).