1.4. Нормальный случайный процесс, белый шум

Рассмотрим случайный n-мерный вектор х = (x_l x₂, ..., х_n)^т, компоненты которого имеют нулевые средние (математические ожидания). Пусть K_ik - корреляционный момент i-го и k-то компонентов x, т. е. среднее значение их произведения:

Понятно, что K_ik = K_ki, - дисперсия x_i, поэтому корреляционная матрица составленная из корреляционных моментов по правилу оказывается симметрической, причем главную ее диагональ образуют дисперсии всех компонентов.

Предположим, что К — невырожденная матрица, а следовательно, ее определитель detK≠0 и обратная ей матрица К^-1 существует. Пусть K_ik^-1 — элемент i-й строки и k-гo столбца матрицы K_ik^-1. Рассмотрим выражение вида x^TK^-1x. Оно представляет собой результат умножения симметрической матрицы на столбец справа и строку, полученную транспонированием этого столбца, слева, т. е. скаляр, называемый квадратичной формой:

(1.8)

Значение данной квадратичной формы случайно вследствие случайности х, причем, как можно показать, форма (8) неотрицательна при любых х. Случайный вектор называют нормальным или гауссовским, если его ПВ экспоненциально убывает с ростом значения квадратичной формы (1.8). С учетом условия нормировки ПВ такого вектора (n-мерный нормальный или гауссовский закон) имеет вид

(1.9)

Это определение распространяется и на векторы с ненулевыми средними значениями компонентов. Нормальным можно называть любой вектор, который после центрирования (вычитания ) подчиняется закону (1.9).

Компоненты нормального случайного вектора называются совместно нормальными случайными величинами.

Справедливы следующие утверждения: любые r случайных величин, выбранных из n совместно нормальных, также совместно нормальны; из некоррелированности совместно нормальных случайных величин следует их независимость; линейное преобразование нормального вектора, т. е. ре­зультат умножения его слева на детерминированную матрицу, - вновь нормальный вектор; сумма нормальных векторов - нормальный вектор.

Рассмотрим случайный процесс y(t) с корреляционной

функцией К(t,t+τ). Любой нормальный процесс полностью описывается ма­тематическим ожиданием и корреляционной функцией К(t, t+τ), причем из стационарности нормального процесса в широком смысле следует и строгая стационарность. Действительно, зная y(t) и К(t, t+τ), можно построить вектор средних и корреляционную матрицу для любых n сечений, т. е. вычислить ПВ (1.9) любой совокупности отсчетов процесса, а следовательно, определить сколь угодно точно вероятность любого его поведения. Кроме того, стационарность в широком смысле означает, что , a K(t,t + τ) зависит только от τ, но не от t. Поэтому для любого набора сечений вектор средних будет всегда иметь равные одной и той же константе компоненты, а корреляционная матрица К будет зависеть лишь от n и взаимного расположения моментов времени и оставаться неизменной при всяком «дружном» сдвиге всех сечений по оси t. Таким образом, для стационарного в широком смысле процесса закон (1.9) инвариантен к началу отсчета t, что и означает строгую стационарность y(t).

Повышенное внимание, проявленное к нормальным процессам, объясняется тем, что реальная радиопомеха часто оказывается суперпозицией большого числа некоторых элементарных случайных колебаний и ее многомерные ПВ удается аппроксимировать нормальным законом на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей. Напомним, что смысл последней сводится к утверждению о нормализации суммы случайных слагаемых с произвольными ПВ по мере увеличения их числа.

В большинстве рассматриваемых далее задач моделью помехи будет нормальный стационарный дельта-коррелированный процесс n(t), или, что то же самое, белый шум. Для такого процесса К(t,t+τ)=K(τ)=(N₀ /2) δ(τ),

где N₀/2 - двусторонняя спектральная плотность, не зависящая от частоты; δ(τ) – дельта-функция.

Несмотря на то, что белый шум - неосуществимая в реальности абстракция (его дисперсия, т. е. средняя мощность, бесконечна), ценность этого понятия и для теории, и для практики велика. Дело в том, что объектом внимания в прикладных дисциплинах являются не столько сами по себе случайные процессы, сколько реакция на них тех или иных физических систем. Любая же реальная система обладает конечной полосой пропускания, и потому при ее исследовании произвольный случайный процесс (шум) со спектром, равномерным в пределах этой полосы, можно заменить белым шумом, не внеся погрешности, поскольку добавленные внеполосные составляющие никакого воздействия на систему не окажут.

Обратная корреляционная функция белого шума K^-1(t₁,t₂) = (2/N₀) δ(t₂ – t₁), ПВ белого шума

, (1.10)

где с – предел сомножителя перед экспонентой в (1.9).

Таким образом, «вероятность» реализации белого шума тем меньше, чем больше ее энергия на интервале наблюдения [0, Т].