1.3. Представление сигналов и помех

Наряду с временным описанием сигнала широко применяют и частотное, т. е. преобразование Фурье в ком­плексном гармоническом базисе. В обозначении Фурье-спектра сигнала s (г) аргумент времени заменён аргумен­том циклической частоты f, а над символом s поставим знак ~ (тильда):

При описании радиосигналов будем использовать традиционные понятия огибающей S(t) и фазы Ф(t) = 2πf₀t + φ (t), причем

s(t) = S(t) cos Ф(t) . (1.2)

Гильбертова огибающая определяется как длина вектора с компонентами s (t) и s_┴(t):

где s_┴(t) = S(t)sinФ(t) - преобразование Гильберта сигнала s(t). Последнее есть реакция на s(t) четырехполюсника (гильбертова фильтра) с коэффициентом передачи (f) = -j sign f, не вносящего амплитудных искажений и сдвигающего фазы всех гармонических составляющих s(t) на один и тот же угол - π/2:

, (1.3)

где sign x = 1 при x ≥ 0 и sign x = -1 при x < 0.

Во временной области преобразование Гильберта (1.3) может быть выражено соотношениями

; . (1.4)

После того как огибающая S (t) определена, аргумент косинуса в (2) - гильбертова полная фаза находится из равенства cos Ф (t) = s (t)/S (t), причем в Ф(t) за несущую или центральную частоту сигнала, как правило, принимают «центр тяжести» энергетического спектра на положительной полуоси частот

. (1.5)

Отметим, что указанным способом гильбертовы огибающая S(t), центральная частота f₀ и текущая начальная фаза φ(t) определяются однозначно. Однако физическую наглядность они приобретают лишь для. узкополосных, сигналов, ибо именно в этом случае функции S(t) и φ(t) совпадут с теми законами управления амплитудой и фазой, которые используются в модуляторе при формировании радиосигнала с несущей f₀.

Решение многих задач упростится, если прибегнуть к комплексному представлению радиосигналов, в частности аналитическому сигналу , (1.6)

где - гильбертова комплексная огибающая, учитывающая законы изменения во времени и амплитуды сигнала и начального фазового угла его несущей. Очевидно, действительный физически наблюдаемый сигнал

(1.7)

Рассмотрим кратко описание помех. Как отмечалось, помеху х(t) следует интерпретировать как непредсказуемый, вероятностный (случайный) процесс, так как устранение влияния полностью детерминированной помехи, по крайней мере, с теоретической точки зрения, является тривиальной задачей. В последующих главах основное внимание сосредоточено на поиске оптимальных способов извлечения информации из наблюдаемого случайного (в силу случайности помехи) колебания (1.1). Для этого традиционной корреляционной теории случайных процессов, опирающейся на корреляционные функции и спектры мощности, недостаточно, и требуется такое описание помехи, которое позволило бы «рассортировать» ее реализации по признаку их вероятности. Такое описание возможно с помощью многомерных плотностей вероятности (ПВ) случайных процессов, суть которых поясняется следующим образом. Пусть в моменты времени t_i берутся отсчеты (сечения) x_i случайного процесса x(t). Очевидно, x_l x₂, ..., х_n — система n случайных величин, т. е. n-мерный случайный вектор, для определенности вектор-столбец х = (x_l x₂, ..., х_n)^т, где т - символ транспонирования. Случайный вектор х статистически полностью описывается ПВ W (х) (совместной ПВ n случайных величин), и так как в нашем случае х состоит из отсчетов x(t), то W(x) назовем n-мерной ПВ случайного процесса x(t). Так как произведение W(x)dx_ldx₂...dx_n есть вероятность того, что в момент времени t₁ реализация процесса х(t₁) пройдет сквозь бесконечно узкое окно [х₁, x₁+dx₁] в момент времени t2 аналогично для своего индекса - 2 и т.д. то n-мерные ПВ при достаточно большом числе сечений n содержат сведения о вероятности того или иного поведения процесса х(t). Однако с точки зрения дальнейших построений еще более продуктивной оказывается предельная форма n-мерной ПВ, получаемая из W(x) при n стремящемся к бесконечности. Пусть интервал наблюдения процесса x(t) имеет конечную длительность Т, а число сечений n неограниченно возрастает, причем разность соседних временных отчетов стремится к нулю. Тогда предел ПВ W(x) будет характеризовать вероятность прохождения реализации x(t) через изогнутый бесконечно узкий «коридор» шириной dx(t), образованный слившимися в две бесконечно близкие линии границами окон. Полагая любые реализации, оказавшиеся в этом коридоре, неразличимыми, т. е. за одну, можно считать, что предел является вероятностной мерой отдельных реализаций процесса х(t), т. е. осуществляет упомянутую сортировку реализаций по вероятностям. Этот предел принято называть функционалом плотности вероятности случайного процесса. В математике функционал - любая функция, отображающая некоторое заданное множество функций на числовую ось: функционал ПВ каждой конкретной функции х(t) из заданного множества (ансамбля реализаций рассматриваемого процесса) ставит в соответствие число W(x(t)), характеризующее вероятность ее появления.