Выводы по главе:

1. Различитель, оптимальный по Критерию Байеса или минимального среднего риска, (байесовский различитель), при эксплуатации будет наиболее «экономичным» из всех, поскольку сумма штрафов за ошибки у него окажется наименьшей.

2. Смысл корреляционного интеграла: если y(t) и S_i(t), согласно современным концепциям теории сигналов, рассматривать как векторы в бесконечномерном евклидовом пространстве, то z_i окажется их скалярным произведением, т. е. величиной, характеризующей близость, сходство y(t) и s_i(t). Отсюда вытекает следующая физическая трактовка правила МП применительно к различению М детерминированных сигналов равной энергии (E_i = E, i=0, 1,..., М-1): принимают решение о наличии в y(t) того сигнала, который имеет наибольшее сходство с y(t).

Вопросы для самоконтроля:

Почему обнаружение и различение сигналов являются задачами проверки гипотез?

Чем отличаются простые гипотезы от сложных, параметрические от непараметрических?

Каким образом критерий Байеса связан с критериями идеального наблюдателя, минимума суммы условных ве­роятностей ошибок, Неймана — Пирсона?

Составляют ли ложная тревога и пропуск полную группу событий?

В чем разница между априорной и апостериорной вероят­ностями гипотезы Н и при каких прочтениях выражение W(y(t)\H) является усло­вным функционалом ПВ y(t) при истинной гипотезе, либо функцией правдоподобия?

В каком смысле оптимальны и как соотносятся друг с другом правила МАВ и МП?

Методические рекомендации.

Изучив материал главы, ответьте на вопросы. При возникновении трудностей обратитесь к материалам для закрепления знаний в конце пособия. Для углубленного изучения воспользуйтесь литературой: основной: 1 – 3; дополнительной: 4 – 6 и повторите основные определения, приведенные в конце пособия.

Глава 3. Алгоритмы и устройства оптимального обнаружения и различения сигналов

3.1. Обнаружение детерминированного сигнала

Как было показано ранее, процедура оптимального обнаружения полностью известного сигнала s(t) сводится к вычислению ОП (25) и сравнению её с соответствующими пороговыми значениями. Учитывая вид ОП для рассматриваемой задачи (31) и выбрав в качестве монотонной функции lnl, получим следующее решающее правило:

, (3.1)

где z = ∫y(t)s(t)dt - корреляционный интеграл.

При гипотезе Н₁: y(t)=s(t) + n(t) корреляция в среднем будет больше, чем при гипотезе H₀, когда y(t) = n(t). Это обстоятельство и используется при обнаружении. Входящий в (3.1) поро­говый уровень z_n зависит от принятого критерия обнару­жения. Так, при общем байесовском подходе, согласно (2.15), z_n = 0,5N₀(lnl_n+E/N0). (3.2)

При ориентации на наиболее часто применяемый на практике критерий Неймана - Пир­сона z_n определяется заданным уровнем вероятности ложной тревоги р_лт. Структура устройства, называемого корреляционным приемником и реализующего алгоритм (3.1), приведена на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Корреляционный приемник

Третий слева блок предназначен для взятия отсчета (стробирования) текущего значения на выходе ин­тегратора в момент окончания наблюдений Т. Это равносиль­но умножению выходной величины интегратора на короткий импульс единичной амплитуды e(t), запаздыва­ющий на время Т. Заметим, что опорный сигнал коррелятора - точная копия обнаруживаемого сигнала, формируемая автономным генератором в месте приема. Воспро­изведение сигнала в обнаружителе оказывается возможным вследствие полной детерминированности s(t). Возможна другая техническая реализация алгоритма (3.1), основанная на том, что корреляцию z можно сформировать как отсчет в момент времени t = Т сигнала на выходе фильтра, импульсная характерис­тика которого h(t) = s(T-t). Такой фильтр называют согласованным. Структура обнаружителя, осно­ванного на использовании согласованного фильтра (СФ) приведена на рис. 3.2 .

Рис.3.2. Структура обнаружителя с использованием согласованного фильтра

Как известно, реакция СФ на сигнал, с которым он согласован, имеет вид корреляционной функции пос­леднего K_s(τ), смещенной на время Т в сторону запазды­вания, т. е.

s_вых(t) = К_s(t -Т)= . (3.2)

Следовательно, максимальное значение (амплитуда) сигна­ла после СФ U_{м вых} = s_вых(T)= K_s(0)=E. Белый шум на выходе СФ «окрашивается», и его корреляционная функция по форме совпадает с K_s(τ):

K_вых(τ) = 0,5 N₀ K_s(τ) (3.3)

Из (3.3) следует, что дисперсия (мощность) шума на выходе СФ K_вых(0) = 0,5 N₀ Е = P_{ш вых} (3.4)

В случае, когда порог z_n превышен и будет принято решение в пользу гипотезы Н₁. Рассчитаем вероятности ошибок р_лт, р_пс. в оптимальном обнаружителе детерминированного сигнала, пользуясь тем, что

р_лт = P( /Н₀) = P(z ≥ z_n / Н₀) = ; (3.5)

р_пс = P( /Н₁) = P(z ≥ z_n / Н₁) = , (3.6)

где W(z/H_i) - ПВ корреляции z при гипотезе H_i , i = 0,1. Графическая иллюстрация этих соотношений приведена на рис. 3.3, где площади заштрихованных областей равны р_лт (косая штриховка) и P_пс (прямая штриховка). Так как z есть линейное преобразование нормального случайного процесса (умножение на фиксированную функцию s(t) и интегрирование), то W(z/H_i), где i = 0,1, - одномерные нормальные ПВ. Остается найти лишь их параметры: среднее z и дисперсию D[z]. При отсутствии сигнала

, так как n . Появление сигнала на входе приводит к тому, что

Рис.3.3. Структура обнаружителя с использованием согласованного фильтра

Из физических соображений ясно, что дисперсия z, совпа­дающая с дисперсией помехи на выходе СФ, не зависит от присутствия на входе сигнала и с учетом (3.4) D{z}=N₀E/2. Таким образом,

, (3.7)

, (3.8)

Введя безразмерную переменную t = , получим

; (3.9)

, (3.10)

где Ф(x) = - интеграл вероятности, см. рис. 3.4.;

- нормированный пороговый уровень;

- параметр обнаружения, равный отношению сигнал/шум на выходе фильтра, согласованного с обна­руживаемым сигналом s(t).

Рис.3.4. График функции Ф(х)

С учетом того, что Ф(-х) = 1 - Ф(х), выражение для р_пс можно представить в виде

(3.11)

С помощью соотношений (3.9) - (3.11) осуществляется расчет обнаружителя в соответствии с принятым критерием оптимальности. Так, при использовании критерия Нейма­на-Пирсона требуется минимизировать р_пс при фиксиро­ванном значении p_лт. При этом из уравнения следует найти нормированный порог Н = Ф^-1(1 - р_ЛT), где Ф^-1 - функция, обратная Ф(х) (т.е. решение уравнения Ф(х)=у относительно х), и подставить полученное значение h в формулу для р_пс (или р_по = 1 - p_пс).

Зависимости от q при фиксированных значениях вероятности ложной тревоги называют характеристиками обнаружения. Опи­раясь на свойства интеграла вероятности Ф(х), легко установить, что зависимость р_по от q является монотонно возрастающей, асимптотически стремящейся к единице при q→∞.

При q = 0 p_по = 1-Ф[Ф^-1(1-Р_лт)]= p_лт = α. (3.12)

Характерис­тики обнаружения детерминированного сигнала приведены на рис. 3.6 (сплошные линии).

Рис. 3.6. Характерис­тики обнаружения детерминированного сигнала

Часто бывает необходимо рассчитать минимальное значение параметра q, при котором достигается требуемая верность обнаружения, т. е. заданные значения p_лт и p_ПС. Это минимальное значение q = q_мин определяет при заданной спектральной плотности мощности шума N₀/2 энергию сигнала E_мин, называемого иногда пороговым. Пользуясь соотношениями (3.9) - (3.11), легко установить, что q_мин = Ф^-1(1-Р_лт) + Ф^-1(1-Р_ПС). . (3.13)