4.4. Оценки по максимуму правдоподобия

Требование (4.16) накладывает жесткие ограничения на вид ФП: преобразуя его, можно убедиться, что равносильным необходимым и достаточным условием существования эффективной оценки скалярного параметра υ, является принадлежность W(у(t)/υ) к довольно специфическому (экспоненциальному) классу функций. Более того, при несуществовании эффективной оценки не всегда удается построить несмещенную оценку, хотя бы удовлетворяющую критерию (4.15), предписывающему минимизировать условную дисперсию равномерно по υ (т. е. одновременно для всех истинных значений υ). Возможны случаи, когда в одной области значений υ лучшим будет одно правило оценки, а в другом — другое. Аналогичные выводы можно сделать и для векторного параметра υ. Однако в практических задачах измерения, как правило, должны выполняться с высокой точностью, для достижения которой экспериментатор заранее принимает необходимые меры. Такой мерой при радиотехнических измерениях является обеспечение достаточной длительности наблюдений или заметного превышения помех сигналом. В подобных условиях наблюдателя может удовлетворить правило оценки, гарантирующее несмещенность и равномерный по υ минимум условной дисперсии асимптотически, т. е. при неограниченном увеличении интервала анализа или уровня сигнала. Именно такими асимптотически оптимальными свойствами и обладает оценка по максимуму правдоподобия (ОМП).

В качестве ОМП измеряемого вектора υ берут значение υ, максимизирующее ФП для наблюдаемой реализации y(t). Как отмечалось, оценка параметров сигнала есть разновидность различения сигналов, поэтому алгоритм ОМП не нов — это разновидность введенного в п. 2.2 правила МП, распространенного и на континуальные множества различаемых сигналов. Поскольку максимум ФП достигается на тех же υ, что и максимум логарифма ФП, правило ОМП можно записать в виде

W(y(t)/ ) = max lnW(y(t)/υ).

В теории оценок доказывается, что при выполнении некоторых достаточно общих условий регулярности ФП (в частности, дифференцируемости по всем υ_i) относительно ОМП справедливы следующие утверждения:

1.ОМП — асимптотически несмещенная;

2. ОМП параметров υ_i асимптотически совместно эффективны;

3. ОМП параметров υ_i асимптотически совместно нормальны с корреляционной матрицей К, обратной информационной матрице Фишера: К = Ф^-1.

Здесь термин «асимптотически» означает соблюдение условий достижения высокой точности измерений; он является кратким эквивалентом словосочетания «при большом времени наблюдения или большой энергии сигнала». Следовательно, во-первых, наблюдатель, заинтересованный в надежных измерениях, может принять в качестве оптимальной стратегию формирования оценки по максимуму правдоподобия, причем уверенность в том, что эта оценка наилучшая, будет тем более обоснованной, чем больше время наблюдений или энергия сигнала, и, во-вторых, условные дисперсии ОМП, асимптотически стремящиеся к границам Крамера - Рао, при точных измерениях могут рассчитываться как правые части неравенств (4.16).

Перечислим дополнительно некоторые важные свойства ОМП:

1. если строго (а не только асимптотически) эффективная оценка существует, то ОМП и является этой оценкой.

2. ОМП инвариантна к замене переменных.

3. ОМП являются асимптотически байесовскими оценками.

Изложенное позволяет рассматривать правило ОМП как универсальную и безотказную методику оценки параметров сигналов. Являясь эффективной в тех случаях, когда эффективная оценка существует, ОМП в условиях надежных измерений обладает практически наилучшими характеристиками, в том числе и в байесовском смысле