2.3. Различение сигналов со случайными параметрами

В жизни наблюдателю заранее не известны не только номер присутствующего в анализируемой реализации сигнала, но и значения каких-либо параметров (амплитуды, частоты, фазы и пр.) каждого из М возможных сигналов. Сами сигналы при этом уже не являются детерминированными, поскольку параметры их не заданы; соответствующую задачу различения называют различением сигналов с неиз­вестными параметрами. Предположим, что i-й сигнал зависит от m_i априори неизвестных параметров, которые для компактности объединим в m_i-мерный вектор неизвестных параметров θ_i = (θⁱ₁ ,θⁱ₂,…,θⁱ_m)^T.

При истинности Н_i т. е. при наличии i-го сигнала в наблюдаемой реализации, имеем у(t)=F[s_i(t);θ_i),x(t)] и параметры i-го сигнала θ_i, окажутся некими параметрами распределения W_y процесса, ансамблю которого принадлежит y(t). Таким образом, класс распределений W_i отвечающий гипотезе H_i, будет содержать не одно распределение, а столько, сколько различных значений может принять вектор параметров θ_i . Если, например, i-й сигнал есть радиоимпульс определенной частоты с амплитудой и фазой, о которых априори известно только, что каждая из них может независимо принимать по 10 различных значений, то класс W_i содержит 100 распределе­ний - по числу возможных сочетаний амплитуд и фаз. При этом гипотезы оказываются сложными параметрическими, так как перечисление всех распределений из W_i свелось бы к заданию всех возможных значений θ_i. В итоге процедура различения М сигналов с неизвестными параметрами выливается в проверку М сложных параметрических гипотез.

Рассмотрим здесь лишь важный для практики частный случай, когда проверяемые сложные гипотезы удается заменить простыми. Такое упрощение оказывается осуществимым, если неизвестные параметры сигнала могут интерпретироваться как случайные величины с заданной априорной ПВ W₀(θ_i). Подчеркнем, что определением «априорная» в применении к ПВ W₀(θ_i) акцентируется независимость содержащихся в ней сведений от вида анализируемой реализации y(t). В W₀(θ_i). выражена вся информация о вероятностях возможных значений параметров i-го сигнала, которой наблюдатель располагает еще до того, как приступает к наблюдению реализации y(t).

Вернемся на время к дискретному наблюдению, приняв во внимание, что при истинности H_i ПВ вектора наблюдений у содержит в качестве параметров θ_i . Поэтому для упомяну­той ПВ уместно обозначение W(y/H_i, θ_i), где второе условие указывает на то, что при данной гипотезе H_i, ПВ у может меняться в зависимости от конкретных значений θ_i. Вос­пользовавшись теоремой умножения вероятностей, запишем

W(y/H_i, θ_i )W₀(θ_i ) = W(y, θ_i / H_i) , (2.16)

где правая часть является условной совместной ПВ векторов у и θ_i, при условии присутствия в y(t) i-ro сигнала. Интегрируя эту совместную ПВ по θ_i из соотношения согласованности (формулы полной вероятности) получим ПВ у при истинности H_i

W(y/H_i) = ∫ W(y, θ_i /H_i )dθ_i . (2.17)

Полученная ПВ вектора у при истинности H_i, не зависит от неизвестных параметров i-го сигнала и при полной статистической заданности помехи x(t) является однозначно определенной функцией у для каждого i. Таким образом, каждой H_i соответствует одна ПВ и гипо­теза H_i - превратилась в простую. Перейдя вновь от дискретных наблюдений к непрерывным, т. е. от ПВ вектора у к функционалам ПВ y(t), и объединив (2.16), (2.17), получим

W(y(t)/H_i) = ∫ W(y(t) /H_{i ,} θ_i)W₀(θ_i) dθ_i . (2.18)

Таким образом, знание априорной ПВ W₀(θ_i) случай­ных параметров θ_i различаемых сигналов позволяет трансформировать сложные гипотезы в простые, открывая тем самым путь к использованию байесовского подхода и критериев, описанных ранее. В итоге при различении М сигналов со случайными параметрами оказываются применимыми все приведенные в предыдущем параграфе оптимальные правила.

Необходимо лишь помнить, что фигурирующая в них ФП W(y(t)\Hi) должна быть предварительно определена из (2.18) с учетом заданной априорной ПВ неизвестных параметров W₀(θ_i). Процедура, предписываемая (2.18), есть не что иное, как усреднение ФП W(y(t)/H_i,θ_i), содержащей случайные параметры θ_i по всем возможным значениям с учетом известных вероятностей появления последних W₀(θ_i)dθ_i.