3.2. Обнаружение сигнала со случайной начальной фазой

Рассмотрим сигнал, который не может считаться детерминированным, так как содержит случайный параметр - фазу φ: s(t, φ)=s(t;<p). В общем виде модель такого сигнала можно записать как

s(t) = S(t) cos Ф(t) = S(t) cos (2πf₀t +ψ(t) + φ) =

= Re( (t)exp(j(2πf₀t + φ))) (3.14)

где S(t) и ψ(t) - известные законы амплитудной и угловой модуляции; f₀ - известная центральная частота; φ - случайная начальная фаза с априорной ПВ W₀(φ); (t) = S(t)e^jψ(t) - комплексная огибающая сигнала s(t), являющегося реализацией s(t;φ) при φ = 0: s(t)=s(t; 0).

В соответствии с п.2.4 оптимальный обнаружитель должен формировать усредненное ОП (2.23) и сравнивать его с порогом. Поскольку начальная фаза радиоимпульса является неэнергетическим параметром, т.е. Е(φ) = Е =(1/2) , то выражение (2.23) примет вид

(3.15)

где z(φ) = . Пользуясь тем, что для любых функций

- равенство Парсеваля для преобразования Гильберта, выражение для z(φ) можно представить в виде

где и - аналитические сигналы, отвечающие y(t) и s(t; φ) (см. § 1.3); * - знак комплексного сопряжения.

Так как = (t) охр (j2лf₀t), = (t)охр(j(2лf₀t + φ)),

где (t) — комплексная огибающая входной реализации y(t), то

z(φ) = Re( exp (-jφ)) = Z cos (φ - arg ). (3.16)

В равенстве

(3.17)

Во многих задачах начальную фазу сигнала φ можно считать равномерно распределенной на интервале [-π, π]: W₀(φ)= 1/(2π)/

При этом интеграл (3.15) с учетом (3.16) имеет вид

(3.18)

где Z = . Воспользовавшись интегральным представлением модифицированной функции Бесселя нулевого порядка

окончательно получим

(3.19)

Так как I₀(х) при х ≥0 монотонно зависит от своего аргумента, то соотношение (3.19) позволяет решающее (3.1)

записать как

(3.20)

где I_о ^-1(x) — функция, обратная I₀(х).

Перепишем выражение для Z следующим образом:

Я =

где z₁= Re( ) = (3.21)

z₂= Im( ) = (3.22)

Таким образом, оптимальный обнаружитель сигнала со случайной начальной фазой должен вычислять длину Z вектора с декартовыми составляющими z₁ и z₂. Как следует из (3.17), Z является абсолютным значением корреляции комплексных огибающих принятого колебания и сигнала . При этом, согласно (3.21) – (3/22), z₁ и z₂ есть корреляции принятой реализации y(t) с квадратурными составляющими сигнала s(t) = S(t)cos[2nf₀t + ψ(t)] и = S(t) sin[2nf₀t + ψ(t)] - детерминированными колебаниями, несущие которых сдвинуты по фазе на угол π/2 [ — преобразование Гильберта сигнала s(t) = s(t; 0)]. Структура такого обнаружителя показана на рис. 3.7.

Рис. 3.7. Структура обнаружителя сигнала со случайной начальной фазой

Отличие обнаружителя рис. 3.7 от приведенного на рис. 3.1 состоит в наличии второго коррелятора и принятии решения по статистике Z, объединяющей выходные эффекты обоих каналов. Если бы сигнал со случайной фазой s(t; φ) обнаруживался как детерминированный, то при сдвиге фаз на π/2 схема рис. 3.1 «не замечала» бы s(t; φ) из-за слабой корреляции последнего с опорным сигналом коррелятора s(t).

Благодаря тому, что на рис. 3.7 опорные сигналы корреляторов находятся в квадратуре, статистика Z не зависит от φ, в результате чего устраняется вредное влияние случайности начальной фазы. Таким образом, инвариантность Z к начальной фазе сигнала s(t; φ) объясняется тем, что значение φ влияет только на аргумент корреляции (3.17) комплексных огибающих и , тогда как Z есть модуль .

Иная реализация оптимального обнаружителя возможна при использовании фильтра, у которого комплексная огибающая импульсной характеристики .Подобный фильтр согласован с сигналом s(t,φ), имеющим некоторое фиксированное значение φ, например φ = 0 [в этом случае фильтр согласован с первой из квадратурных составляющих сигнала, т. е. с s(t)]. Огибающую на выходе этого СФ У_вых(t) при воздействии y(t) на входе можно найти с помощью комплексного интеграла Дюамеля:

При равенстве нулю сигнала за пределами интервала наблюдения y_вых(T) = Z. Таким образом, статистика Z может быть интерпрети­рована как значение огибающей на выходе СФ в момент времени t = Т. Структурная схема обнаружителя на основе СФ приведена на рис. 3.8.

Рис. 3.8. Структурная схема обнаружителя на основе СФ

Заметим, что вместо линейного детектора (ЛД) можно использовать любой детектор, лишь бы его амплитудная характеристика была монотонной функцией огибающей входного процесса.

Для того чтобы рассчитать р_лт, р_пс в рассматриваемом случае, достаточно вспомнить, что отсчеты огибающей узкополосного нормального шума с дисперсией σ² распределены по закону Рэлея

W(Z\H₀ ) =(Z/σ²)exp [-Z²/(2σ²)], Z≥0;

0, при Z<0,

и подчиняются обобщенному закону Рэлея

W(Z\H₁ ) =(Z/σ²)exp [(-Z² +U_m² )/(2σ²)] I₀(ZU_m /σ² ), Z≥0; (3.17)

0, при Z<0,

если к шуму добавляется сигнал с амплитудой U_м.

Как отмечалось ранее на выходе СФ σ² = N₀E/2, U_M = E. Поэтому

.

Перейдя к нормированной переменной t = Z/ по­лучим

(3.18)

где h = Z_n / — нормированный порог;

q = - параметр обнаружения;

- табулированная Q-функция Маркума (интегральное распре­деление Рэлея-Раиса).

Для построения характеристик обнаружения необходи­мо выразить нормированный порог h через заданную вероятность ложной тревоги р_ЛT. Согласно (3.18), h = . Подставив это в выражение для вероятности правильного обнаружения, придем к результату

p_по = 1 - p_пс = 1 - Q( , q).

Характеристики обнаружения сигнала со случайной началь­ной фазой даны пунктиром на рис. 3.6.

Для определения порогового сигнала нужно решить уравнение

р_пс = Q( , q) относительно q:

q_мин = Q^-1₂( , q) (3.19)

где Q^-1₂(•,•) - функция, обратная Q-функции по второму аргументу.

Соотношения (3.8) и (3.19) позволяют оценить потери в пороговом сигнале, связанные со случайным характером фазы. Эти потери обычно характеризуют показателем

где q_1мин(p_лт, p_пс) и q_2мин(p_лт, p_пс) - пороговые отношения сигнал/шум, необходимые для обнаружения с верностью p_лт, p_пс, соответственно детерминированного сигнала и сигнала со случайной начальной фазой. Величина ξ показы­вает, во сколько раз следует увеличить энергию сигнала (т. е. его среднюю мощность р_ср при Т= const или длительность Т при р_ср = const,

чтобы скомпенсировать снижение верности, обусловленное случай­ностью начальной фазы. Обычно величину ξ, как и другие анало­гичные характеристики, выражают в децибелах: ξ_дБ=10 1gξ. Зави­симость ξ_дб=f(р_пс) для нескольких значений р_ЛТ приведена на рис. 3.9 /5/.

Рис.3.9. Зависимость потерь от вероятностей ошибок

Как видно из приведенных кривых, значение потерь зависит от заданных вероятностей ошибок, снижаясь с уменьшением значений p_лт и p_пс. Благодаря малым значениям ξ при малых p_лт и р_пс ориентировочный расчет порогового отношения сигнал/шум для модели сигнала со случайной фазой нередко проводят по более простой формуле (3.8), полученной для модели детерминированного сигнала.