6.2. Модель Уилсона с бесконечной интенсивностью поставки без дефицита. Точка размещения заказа.

Простейшая модель оптимальной партии поставки строится при следующих предположениях: спрос в единицу времени является постоянным; заказанная партия доставляется одновременно; дефицит недопустим; затраты К на организацию поставки постоянны и не зависят от величины q партии; издержки содержания единицы продукции в течение единицы времени составляют s.

На рис. 1 показана динамика изменения уровня I запасов.

Уровень запаса снижается равномерно от q до 0, после чего подается заказ на доставку новой партии величиной q. Заказ выполняется мгновенно и уровень запаса восстанавливается до величины q. Интервал времени длиной между поставками называют циклом. Издержки в течение цикла Lц состоят из стоимости заказа К и затрат на содержание запаса, которые пропорциональны средней величине запаса и длине цикла

Разделив это выражение на длину цикла, получим издержки в единицу времени

Оптимальный размер партии определяется из уравнения

(необходимый признак экстремума). Отсюда находится оптимальный размер q* партии:

Так как (достаточный признак экстремума), то для всех

выражение (2) является минимумом функции затрат (1). Уравнение (2) известно под многими названиями. Его называют формулой наиболее экономной величины заказа, формулой Уилсона, формулой квадратного корня. Чтобы найти оптимальные параметры работы системы, подставляем значение q* в соответствующие выражения. Получаем, что оптимальная стратегия предусматривает заказ q* через каждые

единиц времени. Наименьшие суммарные затраты работы системы в единицу времени

Тема № 7. Модели сетевого планирования и управления

7.1. Основные понятия.

Современное сетевое планирование начинается с разбиения программы работ на операции. Далее определяются оценки продолжительности операций и строится сетевая модель (график). Построение сетевой модели позволяет проанализировать все операции и внести улучшения в структуру модели до начала ее реализации. Затем строится календарный график (план), определяющий начало и окончание каждой операции, а также взаимосвязи с другими операциями графика. Календарный график выявляет критические операции, которым надо уделять особое внимание, чтобы закончить все работы в директивный срок. Что касается некритических операций, то календарный план позволяет определить резервы времени, которые можно выгодно использовать при задержке выполнения работ или эффективном применении как трудовых, так и финансовых ресурсов.

Сетевая модель − графическое изображение плана выполнения комплекса работ, состоящее из нитей (работ) и узлов (событий), которые отражают логическую взаимосвязь всех операций.

Работа − это любые операции, трудовые процессы, сопровождающиеся затратами ресурсов или времени. Это активный процесс, требующий затрат ресурсов, либо пассивный (ожидание), приводящий к достижению намеченного результата. На сетевых графиках работы изображают стрелками. Рядом со стрелкой указывают числовые характеристики: время выполнения работы, расход ресурса, количество исполнителей и т. д. Под работами подразумеваются не только реальные хозяйственные или технологические процессы, требующие затрат времени и ресурсов для их осуществления, но и процессы, потребляющие только время. Также принято считать работами и те процессы, которые не требуют затрат ни времени, ни ресурсов. Это так называемые фиктивные работы. Они показывают, что определенная работа не может совершаться раньше другой. На сетевых графиках фиктивные работы изображают пунктирными стрелками.

Событие − это результат (промежуточный или конечный) выполнения одной и/или нескольких предшествующих работ. Событие означает факт окончания всех работ, в него входящих, и/или начала работ, из него выходящих. Оно не имеет протяженности во времени. На сетевом графике события изображаются кружками с указанием номера события. В каждое событие может входить и выходить из него несколько работ, а каждая работа ограничена двумя событиями. Событие выражает логическую связь между работами, заключающуюся в том, что работы, входящие в это событие, непосредственно предшествуют работам, выходящим из него; ни одна выходящая из данного события работа не может начинаться до окончания всех работ, входящих в него. Событие, с которого начинается выполнение работ, является исходным; оно не имеет предшествующих работ. Событие, которое констатирует факт завершения проекта, называется завершающим; оно не имеет последующих работ. Все прочие события являются промежуточными.

Любая последовательность работ сети, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы, называется путем. Под длиной пути (i; j1), (j1; j2), ..., (jk; j) из события i в событие j будем понимать продолжительность выполнения всей последовательности работ, составляющих этот путь: Путь, в котором начальная вершина совпадает с исходным событием, а конечная − с завершающим, называется полным. Путь от исходного события до любого промежуточного события i называется предшествующим событию i путем. Предшествующий событию i путь, имеющий наибольшую длину, будет максимальным предшествующим. Он обозначается L1(i), а его продолжительность − t[L1(i)]. Путь от данного события i до завершающего события называется последующим путем. Такой путь с наибольшей длиной будет максимальным последующим. Он обозначается L2(i), его продолжительность − t[L2(i)]. Критическим называется полный путь, имеющий наибольшую продолжительность. Таких путей в сети может быть несколько. Критический путь − это путь, не имеющий резервов и включающий самые напряженные работы комплекса.

На сетевом графике критический путь выделяется двойной или жирной линией. Работы и события, принадлежащие критическому пути, называются критическими. Все остальные работы являются некритическими (ненапряженными) и обладают резервами времени, которые позволяют передвигать сроки их выполнения, не влияя на общую продолжительность выполнения всего комплекса работ.

Суммарная продолжительность работ, принадлежащих критическому пути, называется критическим временем tкр выполнения всего комплекса работ.

7.2. Временные параметры сетевого графика.

Основным временным параметром сетевого графика является продолжительность критического пути. Расчет критического пути включает два этапа. Первый называется прямым проходом. Вычисления начинают с исходного события и продолжают до тех пор, пока не будет достигнуто завершающее событие. Для каждого события определяется ранний срок его наступления. На втором этапе, называемом обратным проходом, вычисления начинают с завершающего события и продолжают до тех пор, пока не будет достигнуто исходное событие. Для каждого события вычисляется поздний срок его наступления. Ранним сроком tр(i) свершения события i называется самый ранний момент времени, к которому завершаются все предшествующие этому событию работы, т. е.

Поздним сроком tп(i) свершения события i является самый поздний момент, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для завершения всех работ, следующих за этим событием, без превышения критического времени tкр. Очевидно, что tп(i) определяется разностью между tкр и длиной максимального из последующих путей:

Для событий критического пути ранний и поздний сроки

свершения событий совпадают.

Разность между поздним и ранним сроками свершения события составляет резерв времени события

Резервы критических событий равны нулю.

При расчете временных параметров вручную удобно проводить вычисления непосредственно на графе, воспользовавшись

четырехсекторной схемой. В этом случае каждый кружок, обозначающий событие, делим на четыре сектора, в каждом из которых записываем следующую информацию.

1. Проставляем в верхних секторах номера событий (в соответствии с ранжированием).

2. Рассматривая события в порядке возрастания номеров, по входящим в данное событие работам определяем tр(i) и записываем в левом секторе.

3. Начиная с конечного события, для которого tп(n) = tр(n) = tкр

(n − номер конечного события), для каждого события по выходящим из него работам определяем tп(i) и записываем в правом секторе.

4. В нижнем секторе записываем резерв времени события R(i) (рис. 7.1).

Рисунок 7.1. Четырехсекторная схема расчета

Зная сроки свершения событий, можно определить временные параметры работ:

1. Ранний срок начала работы (i; j), который равен раннему сроку свершения события i:

2. Ранний срок окончания работы (i; j), который равен сумме раннего срока свершения ее начального события и продолжительности работы:

3. Поздний срок окончания работы (i; j) совпадает с поздним сроком свершения ее конечного события:

4. Поздний срок начала работы (i; j), который равен разности между поздним сроком свершения ее конечного события и продолжительностью работы:

Так как сроки выполнения работ находятся в границах, определяемых то они могут иметь разного вида резервы времени.

5. Полный резерв времени работы − это максимально возможный запас времени, на который можно отсрочить начало работы или увеличить продолжительность ее выполнения при условии, что конечное для данной работы событие наступит не позднее своего позднего срока:

Таким образом, полный резерв времени работы есть максимальное время, на которое можно увеличить ее продолжительность, не изменяя продолжительности критического пути. Все некритические работы имеют полный резерв времени, отличный от нуля.