1.3. Экономико-математическая модель

Под экономико-математической моделью понимается экономическая модель, в которой структурные элементы и их взаимосвязи выражены в математической форме (т.е. в виде математической модели). Естественно, что под экономико-математическим моделированием понимают процесс построения, изучения и применения математических моделей в экономике.

Среди экономико-математических моделей особое место занимают эконометрические, балансовые и оптимизационные модели.

Эконометрические модели – это модели, в которых описываются корреляционно-регрессионные зависимости. Эти модели широко используются для построения производственных функций и прогнозирования экономических явлений.

Балансовые модели представляют собой систему балансов производства и распределения. Они опираются на аппарат матричной алгебры и применяются при планировании деятельности различных отраслей экономики.

Оптимизационные модели представляют собой систему математических уравнений, подчиненных определенной целевой функции и служащих для отыскания оптимальных решений конкретной экономической задачи. Эти модели применяются для описания условий функционирования экономических систем.

Экономико-математические модели классифицируются и по другим признакам. В частности, как и для любых моделей, для них характерно разделение по фактору времени, принадлежности к иерархическому уровню и степени причинной обусловленности.

Кроме того, экономико-математические модели различают по целевому назначению (теоретические и прикладные), по уровням исследуемых экономических процессов (производственно-технологические и социально-экономические), по форме математических зависимостей (линейные и нелинейные).

1.4. Этапы экономико-математического моделирования

Процесс математического моделирования можно условно разделить на три

этапа:

1. Этап формализации, т.е. перевод рассматриваемой задачи с естественного языка на язык математических терминов и обозначений. При этом осуществляется переход от реальной ситуации к математической модели. Результатом этого этапа является построенная математическая модель.

Формализация любой экономико-математической модели начинается с описания переменных и параметров. При этом различают экзогенные и эндогенные переменные. Первые из них задаются вне модели, а вторые определяются в ходе расчетов по модели.

2. Этап исследования построенной математической модели, т.е. выбор наиболее подходящего метода решения и решение поставленной математической задачи.

3. Этап интерпретации, т.е. анализ полученных математических результатов и объяснение их в терминах исходной экономической задачи.

Отметим, что выделяют и так называемый подготовительный (или постановочный) этап. На этом этапе осуществляется сбор и анализ информации по моделируемому объекту, формируются цели и задачи, выбираются средства решения.

Тема № 2. Модели теории игр

2.1. Парные матричные игры с нулевой суммой

Игрой называют упрощенную модель конфликтной ситуации. Игра ведется по определенным правилам. Суть игры в том, что каждый из ее участников принимает такие решения, которые, как он полагает, могут обеспечить ему наилучший результат (исход). Исход игры – это значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией). Эта функция задается либо таблицей, либо аналитическим выражением. Если сумма выигрышей игроков равна нулю, то игру называют игрой с нулевой суммой. Если в игре участвуют два игрока, то ее называют парной. В качестве игрока может выступать как отдельное лицо, так и группа лиц, объединенных общей целью.

Каждый игрок в ходе развивающейся конфликтной ситуации выбирает образ своих действий самостоятельно, имея лишь общее представление о множестве допустимых ответных решений партнера. В связи с этим ни один из игроков не может полностью контролировать положение, так что как одному и другому игроку решение приходится принимать в условиях неопределенности. Непременным остается только стремление игроков использовать любую ошибку партнера в своих интересах. Игры, в которых оба участника, действуя в строгом соответствии с правилами, в равной мере сознательно стремятся добиться наилучшего для себя результата, называют иногда стратегическими. В экономической практике нередко приходится формализовать (моделировать) ситуации, придавая им игровую схему, в которых один из участников безразличен к результату игры. Такие игры называют играми с природой, понимая под термином "природа" всю совокупность внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку приходится принимать решение. В играх с природой степень неопределенности при принятии решения сознательным игроком возрастает. Объясняется это тем, что если в стратегических играх каждый из участников постоянно ожидает наихудшего для себя ответного действия партнера, то "природа будучи индифферентной в отношении выигрыша инстанцией, может предпринимать такие ответные действия (будем говорить: реализовать

такие состояния), которые ей совершенно невыгодны, а выгодны сознательному игроку.

Пусть игроки A и B располагают конечным числом возможных действий – чистых стратегий. Обозначим из соответственно A1; …… ;Am и B1;…….;Bn. Игрок A может выбирать любую чистую стратегию Ai (i = 1;m), в ответ на которую игрок B может выбрать любую свою чистую стратегию Bj (j = 1; n). Если игра состоит только из личных ходов пары стратегий (Ai;Bj) однозначно определяет результат aij – выигрыш игрока A. При этом проигрыш игрока B составляет aij . Если известны значения aij – выигрыша для каждой пары (Ai;Bj) чистых стратегий, можно составить матрицу выигрышей игрока A (проигрышей игрока B) (таблица 2.1). Ее называют платежной.

В таблице 15.1 приведены числа – минимально возможный выигрыш игрока A, применяющего стратегию

и – максимально возможный проигрыш игрока B, если он пользуется стратегией

Число называют нижней чистой ценой игры (максимином), а соответствующую ему чистую стратегию – – максиминной. Число показывает, какой минимальный гарантированный выигрыш может получить игрок A, правильно применяя свои чистые стратегии при любых действиях игрока B.

называют верхней чистой ценой игры (минимаксом), а соответствующую чистую стратегию -минимаксной. Число , показывает, какой минимальный гарантированный проигрыш может быть у игрока B при правильном выборе им своих чистых стратегий независимо от действий игрока A.

Таким образом, правильно используя свои чистые стратегии, игрок A обеспечит себе выигрыш не меньше, а игрок B в результате правильного применения своих чистых стратегий не позволит игроку A выиграть больше, чем, . Ясно, что то говорят, что игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры Пару чистых стратегий Ai и Bj , соответствующих и, называют седловой точкой матричной игры, а элемент платежной матрицы, стоящий на пересечении строки и -гo столбца, – седловым элементом платежной матрицы. Он одновременно является минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце, т.е. Стратегии образующие седловую точку, являются оптимальными. образующие седловую точку, являются оптимальными. Тройку называют решением игры.

Для игр без седловых точек оптимальные стратегии игроков находятся в области смешанных стратегий. Смешанной стратегией игрока A называют вектор компоненты которого удовлетворяют условиям Смешанной стратегией игрока B называют вектор вероятности, с которыми игроки A и B выбирают свои чистые стратегии в ходе игры. При использовании смешанных стратегий игра приобретает случайный характер, случайной становиться и величина выигрыша игрока A (проигрыша игрока B). Эта величина является функцией смешанных стратегий и определяется по формуле:

Функцию называют функцией выигрыша или платежной функцией. Смешанные стратегии называют оптимальными, если они образуют седловую точку для платежной функции т.е. если они удовлетворяют неравенству Пользуются и другим определением оптимальных смешанных стратегий: стратегии называют оптимальными, если

Величину называют ценой игры. Поиск оптимальных смешанных стратегий начинают с упрощения платежной матрицы. Если в платежной матрице элементы k-й строки не меньше соответствующих элементов s-ой строки, т.е. то говорят, что стратегия Ak доминирует над стратегией As. Аналогично, если элементы l-го столбца не превосходят соответствующих элементов r-го столбца, т.е. то говорят, что стратегия Bl доминирует над стратегией Br. Частным случаем доминирования стратегий является дублирование стратегий, когда Исключение из платежной матрицы доминируемых стратегий (ими игрокам пользоваться заведомо невыгодно) позволяет уменьшить ее размерность, а это упрощает решение игры. Вероятность применения до минируемых стратегий равна нулю. Оптимальные смешанные стратегии в игре с платежной матрицей и ценой v остаются оптимальными и для игры с платежной матрицей и ценой bv + c. На этом основании платежную матрицу можно всегда преобразовать так, что ее элементы будут целыми неотрицательными числами, а это упрощает расчеты.