Глава VII. Природа логической или математической системы

1. Установите то, что нижеследующие постулаты являются непротиворечивыми. Также покажите, что они независимы друг от друга.

Постулат 1. Если а и Ь – различные элементы класса К, и < – некоторое отношение, то а < b или Ь < а.

Постулат 2. Если а < Ь, то а и Ь различны.

Постулат 3. Если а < Ь, то Ь < с, тогда а < с [134] .

2. Покажите, что набор операций (сложения, умножения, деления и вычитания) над целыми числами является изоморфным набору операций над дробями.

3. Обсудите отношение алгебры к аналитической геометрии в свете вопроса об изоморфизме.

4. Докажите, что аристотелевский принцип dictum de omni et nullo для категорического силлогизма является эквивалентным пяти аксиомам обоснованности, сформулированным в § 3 главы IV.

5. Покажите, что аксиома I для категорического силлогизма (средний термин должен быть распределен хотя бы единожды) является эквивалентной аксиоме 2 (ни один термин не может быть распределенным в заключении, если он не распределен в посылках).

6. «Напишите на одной карточке любое нечетное число, например 35, а на другой – любое четное, например 46. Попросите, чтобы кто-то дал одну карточку А, а другую – Б, но при этом так, чтобы вы не знали, у кого из них какая карточка. Ваша задача сообщить А о том, какое число написано у него на карточке. Скажите, чтобы А умножил свое число на любое четное, а В свое – на любое нечетное. Попросите А и В сложить получившиеся у них в результате умножения числа и назвать вам получившуюся сумму. Если сумма – четная, то у А изначально на карточке было нечетное число, если сумма – нечетная, то у А изначально было четное число» [135] . Докажите, что данный результат будет всегда сохраняться.

7. Покажите, что невозможно разложить целое число на множители, являющиеся простыми числами, более чем одним способом.

8. Что такое аксиома?

9. Что имеется в виду, когда утверждается, что суждение является самоочевидным?

10. Какого рода вопросы может задавать и разрешать логика относительно суждений?

11. Докажите с помощью математической индукции:

12. Прочитайте главы 6 и 7 «Введения в математику» Уайтхеда. Обсудите способы, которыми отличаются друг от друга целые, рациональные, действительные и мнимые числа.

Для дальнейшего изучения:

Younq J. W. Fundamental Concepts of Algebra and Geometry.

Chaps. II, III, IV, V.

Carmichael R. D. The Logic of Discovery. Chaps. II, III, IV, V, VI. Whitehead A. N. Introduction to Mathematics.

Jourdain R E. B. The Nature of Mathematics.

Russel B. Mysticism and Logic. Chaps. IV, V.

Глава VIII. Вероятностный вывод

1. Какова вероятность того, что монета упадет вверх решкой три раза подряд, если вероятность выпадения монеты какой-либо из двух сторон одинакова?

2. Какова вероятность выпадения орла три раза при пяти бросках монеты?

3. В кошельке находится 2 монеты по двадцать пять центов каждая, 3 – по десять, 6 – по пять центов. Наугад извлекаются две монеты. Какова вероятность того, что этими монетами будут:

a. Две монеты по двадцать пять центов?

b. Одна по десять и одна по пять?

4. Вероятность того, что А умрет в течение десяти лет, равна 9/100; того, что В, – 7/100; того, что С, – 11/100.

a. Какова вероятность того, что А проживет еще 10 лет?

b. Какова вероятность того, что А и В вместе проживут еще 10 лет?

c. Какова вероятность того, что по меньшей мере один из троих проживет еще 10 лет?

5. Если 7 человек сядут за круглый стол в случайном порядке, какова вероятность того, что 2 определенных человека будут сидеть рядом? Какова вероятность того, что рядом будут сидеть три заранее определенных человека?

6. Вероятность выпадения орла при броске монеты равняется 1/2, шестерки при броске кости – 1/6, а извлечения белого шара из урны – 3/5. При условии, что данные события независимы, какова вероятность того, что:

a. Произойдет одно, и только одно, из этих событий?

b. Произойдет два из этих событий, и не более?

c. Произойдет по меньшей мере 1 событие?

d. Произойдет по меньшей мере 2 события?

e. Произойдет не более 1 события?

f. Произойдет не более 2 событий?

7. В одной из двух на вид схожих коробок содержится 4 ручки и 2 карандаша. В другой находится 5 ручек и 3 карандаша. Наугад берется одна из коробок, и один предмет содержимого извлекается. Какова вероятность того, что это будет ручка? Если содержимое двух коробок находилось бы в одном мешке, какова вероятность того, что извлеченный наугад предмет оказался бы ручкой?

8. Проанализируйте следующий аргумент:

«Известный нам мир содержит ограниченное количество добра, которого, несмотря на ограниченность, гораздо больше, чем требуется в чисто механистической системе.

Если бы Вселенная целиком состояла бы из громадного количества элементарных сущностей, частиц материи, электричества, импульсов энергии излучения, которые бы сохранялись, но при этом бы отталкивали и притягивали друг друга в приблизительном согласии физических законов, то нам следовало бы ожидать, что на определенном этапе они бы склеивались в объединенные структуры, которые, в свою очередь, хоть и не так часто, но все же могли бы сочетаться и формировать еще более сложные структуры и т. д. Однако вероятность того, чтобы такие более сложные совокупности сочетались только случайным образом, сама по себе была бы бесконечно мала. Более того, также существовала бы устойчивая тенденция распада и рассеивания подобных структур сразу после их формирования вместе с потерей материи и энергии, концентрировавшейся в них.

Серьезный атеист должен относиться к вопросу о мире также с должной серьезностью и задаться следующим вопросом: какова вероятность того, что подобное развитие, в мире распада, стало следствием случайности? Разумеется, под словом «случайность» мы здесь не имеем в виду отсутствие какой-либо причинно-следственной связи, а лишь отсутствие любой причинно-следственной связи, кроме той, что признается в физике. Таким образом, случайностью будет считаться, если стопка карточек, на каждой из которых будет по одной букве, будет брошена в воздух и, упав, сложится в осмысленное предложение, например: «Видеть кошку». Движение каждой карточки будет механически обусловлено, однако настоящей случайностью будет то, что они выпадут именно так…Пусть атеист в споре с нами сделает ставку и назовет степень вероятности, требующуюся для того, что определенное число частиц, волн или каких бы то ни было других составных элементов Вселенной организовались только согласно признаваемым физикой законам механической причинности, так чтобы в результате получился даже не тот космос, который мы реально имеем, а любой другой с равным количеством значимых структур или процессов. Разумеется, он не сможет спорить с нами на равных и, боюсь, наше преимущество в ставках будет столь значимым, что он даже будет выглядеть глуповатым, делая ставку на отстаиваемую им теорию.

Однако какова альтернатива этой позиции? Она не является такой уж страшной, а представляет всего лишь гипотезу о том, что тот вид причинности, который так хорошо нам известен, вид, который мы обнаруживаем в той части материи, которую можем воспринимать непосредственно, а также изнутри, вид, который, коротко говоря, управляет нашей жизнью и сознанием, является не просто случайностью, а существенной составляющей мира, породившего нас» [136] .

9. Исследуйте данные аргументы и определите их вероятностный характер:

Наш посетитель – самый заурядный мелкий лавочник, самодовольный, тупой и медлительный. Брюки у него были мешковатые, серые, в клетку. Его не слишком опрятный черный сюртук был расстегнут, а на темном жилете красовалась массивная цепь накладного золота, на которой в качестве брелока болтался просверленный насквозь четырехугольный кусочек какого-то металла. Его поношенный цилиндр и выцветшее бурое пальто со сморщенным бархатным воротником были брошены тут же на стуле. Одним словом, сколько я ни разглядывал этого человека, я не видел в нем ничего примечательного, кроме пламенно-рыжих волос. Было ясно, что он крайне озадачен каким-то неприятным событием.

От проницательного взора Шерлока Холмса не ускользнуло мое занятие.

– Конечно, для всякого ясно, – сказал он с улыбкой, – что наш гость одно время занимался физическим трудом, что он нюхает табак, что он франкмасон, что он был в Китае и что за последние месяцы ему приходилось много писать. Кроме этих очевидных фактов, я не мог отгадать ничего.

Мистер Джабез Уилсон вскочил с кресла и, не отрывая указательного пальца от газеты, уставился на моего приятеля.

– Каким образом, мистер Холмс, могли вы все это узнать? – спросил он. – Откуда вы знаете, например, что я занимался физическим трудом? Да, действительно, я начал свою карьеру корабельным плотником.

– Ваши руки рассказали мне об этом, мой дорогой сэр. Ваша правая рука больше левой. Вы работали ею, и мускулы на ней сильнее развиты.

– А нюханье табаку? А франкмасонство?

– О франкмасонстве догадаться нетрудно, так как вы, вопреки строгому уставу вашего общества, носите запонку с изображением дуги и окружности.

– Ах да! Я и забыл про нее… Но как вы отгадали, что мне приходилось много писать?

– О чем ином может свидетельствовать ваш лоснящийся правый рукав и протертое до гладкости сукно на левом рукаве возле локтя!

– А Китай?

– Только в Китае могла быть вытатуирована та рыбка, что красуется на вашем правом запястье. Я изучил татуировки, и мне приходилось даже писать о них научные статьи. Обычай окрашивать рыбью чешую нежно-розовым цветом свойствен одному лишь Китаю. Увидев китайскую монетку на цепочке ваших часов, я окончательно убедился, что вы были в Китае.

Мистер Джабез Уилсон громко расхохотался.

– Вот оно что! – сказал он. – Я сначала подумал, что вы бог знает какими мудреными способами отгадываете, а, оказывается, это так просто» [137] .

10. Проанализируйте нижеследующее:

a. Разногласия, возникнувшие относительно френологии, заключались в том, что противники данной системы считали, что они опровергли ее, указав на существующие исключения из утверждаемой френологией локализации способностей, т. е. примеров математиков с малым органом, отвечающим за числа, или музыкантов с малым органом слуха. Приведенные факты, однако, не являются исчерпывающими аргументами против данной системы. Во-первых, указанные несовпадения в случае одной, двух или большего количества способностей не могут служить опровержением для всех остальных случаев. Во-вторых, несколько исключений не смогут опровергнуть утверждаемую связь; они могут лишь опровергнуть их неизменную согласованность… Дело в том, что можно было бы сказать, что френологи выводят связь между определенной ментальной способностью и размером соответствующей области мозга наугад или без ее действительного существования только в том случае, если бы число совпадений между наличием таких способностей (относящихся к числам, музыке, цветам) и необычным размером определенной области в голове равнялось бы числу случайных совпадений при подобных условиях» [138] .

b. «Широкое распространение различных форм христианства после Реформации демонстрирует синхронность с различиями в расе, которую нельзя объяснить исключительно случайностью. Греческая церковь получила популярность у славянской расы, Римская католическая, в общем, соотносится с кельтской расой, а протестантская вера не нашла широкой поддержки за пределами тевтонской расы. На основании данного совпадения можно предположить наличие положительной близости между перечисленными формами христианства и ментальными особенностями рас» [139] (Бейн).

11. Укажите на ошибку в приведенном ниже «исправлении», написанном на имя редактора одной из нью-йоркских газет:

«Сэр,

Некоторое время назад на обсуждение читателей была предложена очень интересная проблема: вероятность чего выше: выпадения орла при двух бросках монеты или одновременно двух шестерок при шести бросках костей?

Вы напечатали несколько математических ответов на эту проблему, однако, как бы странно это ни звучало, все эти ответы основаны на заблуждениях и являются неверными.

Шансы этих двух суждений равны, т. е. вероятность выпадения одновременно двух шестерок при шести бросках костей равна выпадению орла при двух бросках монеты.

Вероятность выпадения орла при двух бросках монеты равна не одному к двум или одного к трем, как это написано в ответах ваших двух корреспондентов, а нулю. У монеты две стороны, следовательно, математически при любых двух бросках орел должен выпасть один раз. В случае с костями вероятность такова: одновременно две шестерки при первом броске – пять к девяти; при двух бросках – четыре к двум; при трех – три к трем; при четырех – два к четырем; при пяти – один к пяти; а при шести бросках – никакой вероятности вообще нет, потому что математически одновременно две шестерки должны выпасть с неизбежностью».

12. Что такое вероятностный вывод?

13. Проанализируйте следующие аргументы:

a. Из мешка с кофе берется горсть зерен и обнаруживается, что девять десятых зерен – качественные. На основании этого делается вывод, что примерно девять десятых всех зерен в мешке – качественные.

b. Человек однажды высадился с судна в одном из турецких портов. На пути он встретил всадника, окруженного четырьмя другими всадниками, держащими над его головой балдахин. Поскольку приезжий считал, что такой высокой чести может удостоиться только правитель данной провинции, он сделал вывод, что перед ним и есть сам правитель.

Для дальнейшего изучения:

Peirce С. S. Chance, Love, and Logic. Part I, Chaps. 3, 4, 5, 6.

Peirce C. S. Collected Papers. Vol. II, Chaps. 5, 6, 7, 8.

Cohen M. R. Reason and Nature. Bk. I, Chap. Ill, § 3 and § 4.

Keynes J. M. Treatise on Probability, Part I.

Laird J. Knowledge, Belief and Opinion. Chap. XVII.