§ 2. Чистая математика. Иллюстрация

Вероятно, читатель знакомился с некоторыми примерами логических систем при изучении математики. К тому же мы уже рассмотрели подобный пример при обсуждении силлогизмов. Однако будет небесполезно сделать это заново. Рассмотрим следующие суждения, являющиеся аксиомами для особого вида геометрии.

Аксиома 1. Если А и В являются различными точками на плоскости, то существует по меньшей мере одна прямая, содержащая одновременно А и В.

Аксиома 2. Если А и В являются различными точками на плоскости, то существует не больше одной прямой, содержащей одновременно А и В.

Аксиома 3. Любые две прямые на плоскости имеют по меньшей мере одну общую точку этой плоскости.

Аксиома 4. На плоскости существует по меньшей мере одна прямая.

Аксиома 5. Всякая прямая содержит по меньшей мере три точки плоскости.

Аксиома 6. Все точки плоскости не принадлежат одной и той же прямой.

Аксиома 7. Ни одна прямая не содержит более трех точек плоскости.

Очевидно, что в данных аксиомах речь идет о точках и прямая на плоскости. На самом деле, если мы отбросим седьмую аксиому, то получим аксиомы, введенные Вебленом и Янгом для «проективной геометрии» на плоскости в их трактате по данному предмету. Читателю вовсе не обязательно что-либо знать о проективной геометрии, для того чтобы понять то, что будет сказано ниже. Чем же являются точки, прямая и плоскости? Читателю может показаться, что он знает, чем они являются. Он способен нарисовать точки и прямые с помощью карандаша и линейки, и, быть может, ему покажется, что в приведенных аксиомах делаются утверждения относительно свойств и отношений таких геометрических сущностей.

Это достаточно сомнительно, ибо свойства нарисованных на бумаге точек могут значительно отличаться от утверждаемых свойств. Однако в любом случае вопрос о том, согласуются ли реальные точки и прямые с тем, что утверждается в аксиомах, является вопросом прикладной, а не чистой математики. Следует отметить, что в самих аксиомах не говорится о том, чем на самом деле являются точки, прямые и т. д. Для того чтобы вывести следствия из данных аксиом, необязательно знать, что именно мы понимаем под терминами «точка», «прямая», «плоскость». Эти аксиомы имплицируют ряд теорем не в силу визуальной репрезентации, которую им может придать читатель, а в силу их логической формы. Точки, прямые и плоскости могут быть какими угодно сущностями, недетерминированными в любом отношении за исключением тех отношений, которые утверждаются в аксиомах.

Давайте поэтому отбросим всякую явную отсылку к точкам, прямым и плоскостям и, тем самым, элиминируем все апелляции к пространственной интуиции при выведении из этих аксиом ряда теорем. Предположим, в таком случае, что вместо слова «плоскость» мы будем использовать букву «S»; а вместо слова «точка» – фразу «элемент S». Очевидно, что если рассматривать плоскость (S) как набор точек (элементов S), то прямая может пониматься как класс точек (элементов), являющийся подклассом точек на плоскости (S). Следовательно, мы заменим слово «прямая» (line) выражением «1-класс». Таким образом, наш исходный набор аксиом обретает следующий вид:

Аксиома 1\'. Если А и В являются различными элементами S, то существует по меньшей мере один 1-класс, содержащий одновременно А и В.

Аксиома 2\'. Если А и В являются различными элементами S, то существует не более одного 1-класса, содержащего одновременно А и В.

Аксиома 3\'. Любые два 1-класса имеют по меньшей мере один общий элемент S.

Аксиома 4\'. В S существует по меньшей мере один 1-класс.

Аксиома 5\'. Каждый 1-класс содержит по меньшей мере три элемента S.

Аксиома 6\'. Все элементы S не принадлежат одному и тому же 1-классу.

Аксиома 7\'. Ни один 1-класс не содержит более трех элементов S.

В данном наборе допущений не делается явной ссылки ни на какую предметную область. Понятия, необходимые для того, чтобы сформулировать данные аксиомы, имеют совершенно общий характер. Идеи класса, подкласса, элементов класса, отношение принадлежности к классу и дополнение к классу, понятие числа – все это фундаментальные элементы аппарата логики. Таким образом, если нам удастся открыть импликации этих аксиом, то это случится не благодаря свойствам пространства как такового. На самом деле ни одна из этих аксиом не может считаться суждением, ни одна из них сама по себе не является истинной или ложной. Сами по себе символы S, 1-класс, А, В и т. д. являются переменными. Каждая из этих переменных обозначает любую сущность из класса возможных сущностей, с единственным условием: эта сущность должна «выполнять» или согласовываться с формальными отношениями, сформулированными в аксиомах. Однако до тех пор, пока символы не наделены специфическим значением, аксиомы являются пропозициональными функциями, а не суждениями [44] .

Наши допущения, таким образом, заключаются в том, что некоторые отношения рассматриваются в качестве существующих между неопределенными терминами. Однако читатель обратит внимание, что, несмотря на то что ни один термин не определен явно, им (терминам), тем не менее, дано имплицитное определение. Они могут обозначать все что угодно, при условии, что это обозначаемое согласуется с отношениями, утверждаемыми относительно них. Данная процедура характеризует современную математическую технику. К примеру, в аксиоматике Евклида явные определения даны точкам, прямым, углам и т. д. В современной трактовке геометрии эти элементы определяются имплицитно посредством аксиом. Такая процедура, как мы сможем убедиться, обусловливает возможность большого числа различных интерпретаций неопределенных терминов, что позволяет проявить тождественность структуры в различных условиях.

Теперь мы докажем шесть теорем, некоторые из которых можно посчитать банальными следствиями наших допущений.

Теорема I. Если А и В являются различными элементами S, то существует один, и только один, 1-класс, содержащий одновременно А и В. Назовем его «1-класс АВ». Это следует из аксиом 1′ и 2′

Теорема II. Любые два отличных друг от друга 1-класса имеют один, и только один, общий элемент S. Это следует из аксиом 2′ и 3′

Теорема III. Существует три элемента S, которые вместе не принадлежат одному 1-классу. Это является непосредственным следствием аксиом 4′ 5′ и 6′

Теорема IV. Каждый 1-класс в S содержит только три элемента S. Это следует из аксиом 5′ и 7′

Теорема V. Любой класс S, выполняющий условия аксиом 1′—6′ включительно, содержит по меньшей мере семь элементов.

Доказательство . Пусть А, В, С – три элемента S , не принадлежащих одному l‑классу . Э то возможно, согласно теореме III. Тогда должно иметься три различных l‑класса , содержащих АВ, ВС и СА , согласно теореме I. Более того, каждый из этих l‑классов должен обладать дополнительным элементом, согласно аксиоме 5′ и эти дополнительные элементы должны быть отличны друг от друга, а также от А, В , С, согласно аксиоме 2′

Пусть эти дополнительные элементы обозначаются как D, Е и G, так чтобы ABD, ВСЕ и CAG формировали три упомянутых различных 1-класса. Тогда АЕ и BG тоже детерминируют 1-классы, которые должны быть отличными от всех упомянутых 1-классов, согласно аксиоме Г. Также они должны обладать одним общим элементом S, согласно аксиоме 4\', который будет отличаться от всех упомянутых элементов, согласно аксиоме 2'. Назовем его «F», так чтобы AEF и BFG были 1-классами.

Следовательно, в S есть по меньшей мере семь элементов.

Теорема VI. Класс S, выполняющий условия всех семи допущений, содержит не более семи элементов.

Доказательство . Допустим, имеется восьмой элемент Т. Тогда 1-класс, детерминируемый с помощью АТ и BFG, должен будет обладать общим элементом. Этим элементом не может быть В, т. к. элементы АВ детерминируют 1-класс, элементами которого являются ABD, так что ABTD должны будут принадлежать этому же 1-классу, что невозможно, согласно аксиоме. Этим элементом не может быть и F, ибо тогда AFTE должны будут принадлежать 1-классу AEF; этим элементом не может быть и G, т. к. тогда AGTC должны будут принадлежать 1-классу AGC; все эти результаты невозможны по той же причине (аксиома 7').

Следовательно, поскольку существование восьмого элемента противоречит аксиоме 7', то такой элемент не может существовать.

Мы представили миниатюрную математическую систему в виде гипотетико-дедуктивной науки. Проведенная дедукция никак не опирается на эксперимент, наблюдение или какие-либо элементы чувств. Читатель смог ощутить вкус чистой математики. Вопрос же о том, соответствует ли что-либо в существующем мире данной системе, требует эмпирического знания. Если окажется так, что нечто ей действительно соответствует, то такая часть реального мира должна обладать тем систематическим характером, который был символически выражен нами выше. При этом верифицировать то, что мир на самом деле содержит подобную структуру, мы сможем лишь в пределах погрешности используемой нами экспериментальной процедуры.