Глава III. Отношения между суждениями § 1. Возможные логические отношения между суждениями

Интерес логиков к структуре суждений вызван их желанием проявить все возможные формы суждений, с помощью которых суждения имплицируют друг друга. Помимо импликации суждения могут быть связаны и другими отношениями. Так, суждения «меновая стоимость товара пропорциональна объему труда, требующегося для его производства» и «предложение товара пропорционально спросу на него» связаны определенным отношением, заключающимся в том, что в них речь идет об экономике. Также связанными являются суждения «и самая блестящая речь надоедает, если ее затянуть» и «в мысли содержится величие человека» – в них верил Паскаль. Однако подобные связи не являются предметом интереса логика. Логическую значимость имеют те отношения между суждениями, благодаря которым возможная истинность или ложность одного или более суждений ограничивает возможную истинность или ложность другого или других суждений. Рассмотрим такие отношения.

В заключительной части платоновского диалога «Протагор» Сократ резюмирует обсуждение вопроса о природе добродетели: «Да ведь я спрашиваю… только ради того, чтобы рассмотреть, как обстоит дело с добродетелью и что это такое – добродетель. Я знаю, если это будет раскрыто, тогда всего лучше выяснится и то, о чем каждый из нас держал столь длинную речь: я – когда утверждал, что добродетели нельзя научиться, ты же – когда утверждал, что можно. И мне кажется, что недавний вывод наших рассуждений, словно живой человек, обвиняет и высмеивает нас, и, если бы он владел речью, он бы сказал: «Чудаки вы, Сократ и Протагор! Ты, утверждавший прежде, что добродетели нельзя научиться, теперь вопреки себе усердствуешь, пытаясь доказать, что все есть знание: и справедливость, и рассудительность, и мужество. Но таким путем легче всего обнаружится, что добродетели можно научиться. Ведь если бы добродетель была не знанием, а чем-нибудь иным, как пытался утверждать Протагор, тогда она, ясно, не поддавалась бы изучению; теперь же, если обнаружится, что вся она – знание (на чем ты так настаиваешь, Сократ), странным было бы, если бы ей нельзя было обучиться. С другой стороны, Протагор, тогда полагавший, что ей можно обучиться, теперь, видимо, настаивает на противоположном: она, по его мнению, оказывается чем угодно, только не знанием, а следовательно, менее всего поддается изучению».

Меня же, Протагор, когда я вижу, как все тут перевернуто вверх дном, охватывает сильное желание все это выяснить» [23] .

Рассмотрим из данного отрывка следующие суждения:

a. Добродетели нельзя научиться.

b. Если добродетель не есть знание, то ей нельзя научиться.

c. Если добродетель есть знание, то ей можно научиться.

d. Добродетели можно научиться.

e. Добродетель есть знание.

f. Добродетель не есть знание.

Несложно усмотреть, что суждения а и d связаны логически, а не только тем, что в них обоих речь идет о добродетели. Существует очевидное ограничение относительно их возможной истинности или ложности. Оба данных суждения не могут быть истинными, поскольку в одном утверждается то, что в другом отрицается. По той же причине оба данных суждения не могут быть ложными. Точно такое же отношение имеет место между суждениями ей/. Такие суждения противоречат (являются контрадикторными) друг другу.

Что можно сказать относительно суждений Ь и с? Читатель может посчитать их также противоречащими. Это, однако, будет неверно. Противоречия не возникает, если сказать, что добродетели можно научиться при одних случайных обстоятельствах (например, если добродетель является знанием), но нельзя при других (если добродетель не является знанием).

Данные суждения не накладывают друг на друга ограничений относительно возможной истинности или ложности. Такие суждения, несмотря на то что в них речь идет об одном и том же предмете, являются логически независимыми. Читатель может самостоятельно установить, есть ли в приведенном выше списке еще независимые суждения.

Теперь рассмотрим суждения Ь и f, как утверждаемые одновременно и тем самым формирующие конъюнктивное суждение. Существует ли отношение между этой конъюнкцией и суждением а? Несложно увидеть, что если и Ь и f – истинны, то а должно быть истинным. Однако если истинно а, следует ли из этого истинность Ь и f? Разумеется, нет, поскольку а может быть истинным вследствие совершенно других оснований, чем те, которые предоставляет конъюнкция Ь и f. Так, например, такими основаниями могут быть человеческое упрямство, дурные привычки или слабость тела. А конъюнкция может быть ложной, даже если а истинно, поскольку может оказаться истинным, что добродетель является знанием, но при этом ей все равно нельзя научиться. Если два суждения связаны отношением таким, что если первое истинно, то второе тоже истинно, но если второе истинно, то истинностное значение первого является неопределенным, или неограниченным, то такие суждения считаются находящимися в отношении подчиняющего к подчиненному. Для данного отношения также был введен удобный термин «суперимпликация». Предлагаем читателю самостоятельно отыскать другие сочетания суждений из приведенного списка, находящиеся друг с другом в этом же отношении.

На данный момент мы рассмотрели три типа отношений между суждениями: противоречие, независимость и отношение подчиняющего суждения к подчиненному. Существуют ли другие отношения помимо указанных? Исчерпывающий список всех таких отношений можно получить, если рассмотреть все возможные истинностные значения, которые будет принимать пара суждений. («Истинностным значением суждения» называется его истинность или ложность.) Пусть р символизирует одно любое суждение, a q – любое другое. Приведенная ниже таблица представляет все их возможные истинностные значения. Следует также учесть возможность того, что истинностное значение одного суждения не будет ограничиваться истинностным значением другого. Отсутствие такого ограничения мы обозначим термином «неопределенно».

Отношение между двумя суждениями может быть представлено одним из указанных шести способов. Однако придания паре суждений лишь одного из шести предложенных условий недостаточно, чтобы однозначно определить их логическое отношение друг к другу. Поэтому для задания свойств отношения противоречия (или контрадикторности), существующего, например, между суждениями ей/, требуется привести два условия: 2 и 4. Отношение суперимпликации также требует двух условий: 1 и 6. Рассмотрение других возможных логических отношений между суждениями показывает, что для задания их свойств также требуется два из шести приведенных в таблице условий. Сопоставив три первых условия с тремя последними, мы получим девять возможных отношений между суждениями. При этом некоторые из них будут совпадать.

1. Если р истинно, то q истинно. Если р ложно, то q истинно.

В этом случае истинностное значение q не ограничено истинностным значением р. Суждения, связанные таким образом, называются независимыми.

2. Если р истинно, то q истинно. Если р ложно, то q ложно.

Суждения, связанные таким образом, называются эквивалентными.

3. Если р истинно, то q истинно. Если р ложно, то q неопределенно.

Суждения, связанные таким образом, находятся в отношении главного (или подчиняющего) и подчиненного. Как было сказано выше, для обозначения этого отношения мы также будем использовать термин «суперимпликация».

4. Если р истинно, q ложно.

Если р ложно, q истинно. Читатель, видимо, уже узнает данное отношение, именуемое противоречием.

5. Если р истинно, q – ложно. Если р ложно, q – ложно.

В данном случае ложность q не зависит от истинности или ложности р, поэтому суждения являются независимыми.

6. Если р истинно, q – ложно. Если р ложно, q – неопределенно.

В данном случае р и q считаются противоположными (контрарными): они не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными.

7. Если р истинно, q – неопределенно. Если р ложно, q – истинно.

Здесь оба суждения не могут быть одновременно ложными, но могут быть одновременно истинными. Такие суждения называются субконтрарными (частично совпадающими).

8. Если р истинно, q – неопределенно. Если р ложно, q – ложно.

В этом случае отношение р к q является обращением отношения из пункта 3. Суждение р здесь находится в отношении субъимпликации или является подчиненным подчиняющему суждению q.

9. Если р истинно, q – неопределенно. Если р ложно, q – неопределенно.

Здесь суждения р и q также являются независимыми, поскольку истинностное значение р не детерминирует истинностное значение q.

Таким образом, существует семь различных типов логических связей между одним суждением или набором суждений и другим суждением или их набором. (Следует обратить внимание, что 1, 5 и 9 относятся к одному и тому же типу.) Суждения могут 1) быть эквивалентными, 2) находиться в отношении подчиняющего к подчиненному, 3) находиться в отношении подчиненного к подчиняющему, 4) быть независимыми, 5) субконтрарными, 6) противоположными или 7) противоречащими. Данные семь связей являются основополагающими логическими связями между суждениями, и любое рассуждение, в которое мы будем вдаваться в настоящей книге, может рассматриваться как иллюстрация одного из этих отношений. Полное понимание этих семи отношений позволит читателю получить обзорное представление о сфере распространения логики [24] .