Глава VIII. Вероятностный вывод § 1. Природа вероятностного вывода

В обыденном словоупотреблении термин «вероятность» используется весьма свободно, тогда как в логической теории правильный анализ природы вероятностного вывода – это одна из наиболее обсуждаемых тем. Тем не менее, мы строим планы относительно рождения детей, свадеб, смерти, праздников, коммерческих инициатив, дружбы и образования, опираясь на рациональные основания, весомость которых может рассматриваться как вероятностная, но не окончательная. «Вероятность», как замечал епископ Батлер, «является подлинным проводником по жизни». Поэтому данный вопрос следует рассмотреть более детально. Читателю будет легче, если он вспомнит определение вероятностного (правдоподобного) умозаключения, приведенного в вводной главе. Это определение может служить нитью Ариадны в лабиринте долгих обсуждений. Мы сказали, что вывод (или умозаключение) является вероятностным, если он принадлежит классу аргументов таких, в которых заключения являются истинными с определенной относительной частотой при истинности посылок.

Нижеследующее происшествие случилось в повести Вольтера «Задиг»:

Однажды, когда Задиг прогуливался по опушке рощицы, к нему подбежал евнух царицы, которого сопровождали еще несколько дворцовых служителей. Все они, видимо, находились в сильной тревоге и метались взад и вперед, словно искали потерянную ими драгоценную вещь.

– Молодой человек, – сказал ему первый евнух, – не видели ли вы кобеля царицы?

– То есть суку, а не кобеля, – скромно отвечал Задиг.

– Вы правы, – подтвердил первый евнух.

– Это маленькая болонка, – прибавил Задиг, – она недавно ощенилась, хромает на левую переднюю лапу, и у нее очень длинные уши.

– Значит, вы видели ее? – спросил запыхавшийся первый евнух.

– Нет, – отвечал Задиг, – я никогда не видел ее и даже не знал, что у царицы есть собака.

Как раз в это время, по обычному капризу судьбы, лучшая лошадь царских конюшен вырвалась из рук конюха на лугах Вавилона. Егермейстер и другие придворные гнались за ней с не меньшим волнением, чем первый евнух за собакой. Обратившись к Задигу, егермейстер спросил, не видел ли он царского коня.

– Это конь, – отвечал Задиг, – у которого превосходнейший галоп; он пяти футов ростом, копыта у него очень маленькие, хвост трех с половиной футов длины, бляхи на его удилах из золота в двадцать три карата, подковы из серебра в одиннадцать денье.

– Куда он поскакал? По какой дороге? – спросил егермейстер.

– Я его не видел, – отвечал Задиг, – и даже никогда не слыхал о нем.

Егермейстер и первый евнух, убежденные, что Задиг украл и лошадь царя, и собаку царицы, притащили его в собрание великого Дестерхама, где присудили к наказанию кнутом и к пожизненной ссылке в Сибирь. Едва этот приговор был вынесен, как нашлись и собака, и лошадь. Судьи были поставлены перед печальной необходимостью пересмотреть приговор; но они присудили Задига к уплате четырехсот унций золота за то, что он сказал, будто не видел того, что на самом деле видел.

Задигу пришлось сперва уплатить штраф, а потом ему уже позволили оправдаться перед советом великого Дестерхама. И он сказал следующее: – Звезды правосудия, бездны познания, зерцала истины, вы, имеющие тяжесть свинца, твердость железа, блеск алмаза и большое сходство с золотом! Так как мне дозволено говорить перед этим высочайшим собранием, я клянусь вам Оромаздом, что никогда не видел ни почтенной собаки царицы, ни священного коня царя царей. Все, что со мной случилось. Я прогуливался по опушке той рощицы, где встретил потом достопочтенного евнуха и прославленного егермейстера. Я увидел на песке следы животного и легко распознал, что их оставила маленькая собачка. По едва приметным длинным бороздкам на песке между следами лап я определил, что это сука, у которой соски свисают до земли, из чего следует, что она недавно ощенилась. Следы, бороздившие песок по бокам от передних лап, говорили о том, что у нее очень длинные уши, а так как я заметил, что след одной лапы везде менее глубок, чем следы остальных трех, то догадался, что собака нашей августейшей государыни немного хромает, если я смею так выразиться. Что же касается коня царя царей, то знайте, что, прогуливаясь по дорогам этой рощи, я заметил следы лошадиных подков, которые все были на равном расстоянии друг от друга. Вот, подумал я, лошадь, у которой превосходный галоп. Пыль с деревьев вдоль узкой дороги, шириною не более семи футов, была немного сбита справа и слева, в трех с половиной футах от середины дороги. У этой лошади, подумал я, хвост трех с половиною футов длиной: в своем движении направо и налево он смел эту пыль. Я увидел под деревьями, образующими свод в пять футов высоты, листья, только что опавшие с ветвей, из чего я заключил, что лошадь касалась их и, следовательно, была пяти футов ростом. Я исследовал камень кремневой породы, о который она потерлась удилами, и на этом основании определил, что бляхи на удилах были из золота в двадцать три карата достоинством. Наконец, по отпечаткам подков, оставленным на камнях другой породы, я пришел к заключению, что ее подковы из серебра достоинством в одиннадцать денье [47] .

Данная миниатюрная детективная история хорошо представляет тот способ вывода, который используется в большом количестве практических вопросов и во многих областях научного исследования. Почему мы считаем, что заключения Задига разумно и хорошо обоснованы, хотя их основания не являются абсолютно исчерпывающими?

Аргумент о том, что собачка царицы пробежала мимо, можно сформулировать следующим образом:

1. Данные следы на песке имеют определенную форму. (Это истинное суждение, в котором утверждается наблюдавшийся факт.)

2. Однако если бы мимо проходила маленькая собачка, то ее следы на песке были бы следами именно такой формы.

(Данное суждение выражает общее правило, которое считается истинным.)

3. Следовательно, мимо проходила маленькая собачка. (Данное суждение является выведенным заключением.)

Данный аргумент формально не является обоснованным. Он был бы обоснованным, если бы мы знали не только истинность суждения 2, но и истинность суждения 2\': «если следы данной формы имеются на песке, то их оставила маленькая собачка». (Читатель может самостоятельно заменить в приведенном аргументе суждение 2 на суждение 2\' и убедиться в обоснованности получившегося умозаключения.) Суждение 2\' является конверсным суждением относительно суждения 2. Однако даже если мы знаем, что суждение 2 является истинным, мы не знаем истинностного значения конверсивного ему суждения. Мы, на самом деле, можем знать, что, несмотря на то что маленькие собачки оставляют следы такой формы, схожие с ними следы могли быть получены и в результате иных обстоятельств. Поэтому очевидно, что заключение Задига не следовало из посылок с необходимостью.

Тем не менее, его заключение является крайне правдоподобным или вероятным относительно посылок. Дело в том, что вывод, который он сделал от наблюдавшихся фактов к заключению посредством общего правила, относится к классу умозаключений, в которых количество раз, когда истинные суждения выводятся из истинных посылок, является очень большим относительно общего числа проведения подобных умозаключений. Иными словами, Задиг однажды может ошибиться, умозаключая от суждений, в которых утверждается наличие соответствующих следов на песке, к суждению «здесь проходила маленькая собачка». Однако если ему и другим наблюдателям пришлось бы сделать очень большое количество подобных умозаключений, то правыми они оказывались бы гораздо чаще, чем неправыми.

На данном этапе мы можем изложить суть дела несколько иначе. По той или иной причине Задиг изучает следы на песке. Он способен установить истинность суждения «данные следы на песке имеют определенную форму». Однако у него также есть некоторые основания и для того, чтобы утверждать и следующее суждение: «следы на песке данной формы оставляют (в пропорции r к общему числу появления таких следов) маленькие собачки». Несмотря на то что из данных суждений ничего не следует с необходимостью , Задиг может заключить с вероятностью : «маленькая собачка проходила мимо». Данное заключение является вероятным относительно оснований, поскольку данное заключение оказывается истинным при истинности посылок в пропорции r к общему числу осуществления подобных умозаключений. В любом из случаев осуществления данного вывода заключение (выводимый факт) может оказаться ложным, даже если посылка является истинной. Однако если последовательно проводить подобные умозаключения, то можно будет получать истинные заключения с относительной частотой r , которую иногда можно высчитать. Нумерическое значение r можно получить не всегда, и в таких случаях нам приходится довольствоваться только приблизительными догадками относительно величины r . Однако хотя основания для нашей приблизительной оценки величины r  могут быть ненадежными, значение нашего суждения относительно вероятности ясно. Когда r равняется нулю, аргумент ничего не стоит; когда r равняется 1, умозаключение является обоснованным исчерпывающим образом; когда r равняется ½

Рассмотрим теперь вероятность гипотез. Наблюдения за намагниченными железными прутьями, иголками, гвоздями и т. п. показывают, что магниты обладают двумя противоположными полюсами, такими, что различные полюса притягивают друг друга, а одинаковые – отталкивают друг друга. Мы также наблюдаем, что металлы намагничиваются по-разному и что лучшие металлические магниты утрачивают свои магнетические свойства с течением времени. Как можно все это объяснить? Один из способов это предположить, что все металлические субстанции состоят из мельчайших частиц, каждая из которых является вечным магнитом с двумя полюсами и способна вращаться вокруг фиксированного центра.

Можно показать, что при определенном расположении данных частиц противоположные полюса будут полностью нейтрализовывать друг друга так, что весь металлический прут не будет проявлять каких-либо магнетических свойств; при этом при ином расположении только некоторые из этих мельчайших частиц будут нейтрализовывать друг друга так, что сам прут будет проявлять магнетические свойства. Изменения в положении этих мелких вечных магнитов и легкость, с которой они вращаются вокруг фиксированных центров, будут объяснять, почему металлический прут обретает или теряет магнетические свойства.

Как мы уже знаем, данная гипотеза о природе магнетизма не может быть доказана указанием на то, что ее следствия согласуются с наблюдением, поскольку другие теории также могут объяснять феномен магнетизма. Более того, мы не можем быть уверенными в том, что не окажется так, что некоторые из логических следствий нашего допущения будут не согласовываться с наблюдаемыми явлениями. Тем не менее, можно сказать, что наше допущение или гипотеза о природе магнетизма является вероятной в том же смысле, в каком вероятными были заключения Задига.

Мы можем придать нашему аргументу знакомую форму гипотетического силлогизма: «Этот, тот, а также и другие металлические прутья проявляют магнетизм при определенных условиях» (истинное суждение, в котором утверждаются наблюдаемые факты). Но «если каждый металл состоит из неразличимых мельчайших вечных магнитов, свободно вращающихся вокруг фиксированной оси, то эти металлы будут проявлять свойства магнетизма при указанных условиях» (общее правило). «Следовательно, каждый металл состоит из вечных магнитов» и т. д. (выведенное заключение). Мы вновь замечаем, что, будучи сформулированным таким образом, данный аргумент не является обоснованным. Тем не менее, заключение является вероятным относительно оснований, предлагаемых посылками, поскольку при последовательном проведении подобных умозаключений данное заключение будет истинным с относительно существенной частотой при истинности посылок.

«Минутку!» – может воскликнуть читатель. «Что вы имеете в виду, когда говорите, что заключение является истинным в определенной пропорции к истинности посылок? Откуда вы можете знать, что заключение когда-либо является истинным? Разве вечные магниты, из которых состоят металлы, не являются мельчайшими и незаметными, и не означает ли это, что установить истинность данного заключения просто невозможно? И в таком случае как мы вообще можем определить относительную частоту истинности данного заключения?»

Ответ на данное возражение основывается на проведении различия между значением суждения и основаниями в пользу его истинности. Значение вероятности может, в общем, быть определенным, даже если в ряде случаев мы не имеем достаточно оснований для установления его нумерической величины. Затруднение, о котором говорится в данном возражении, можно усмотреть и в других областях. Так, например, ответ на вопрос о том, чем является сфера, может и должен быть получен независимо и непосредственно перед тем, как в конкретном случае можно будет установить, является ли рассматриваемый объект сферой.

Анализ правдоподобия суждений, истинность которых не может быть верифицирована непосредственным образом, является гораздо более сложной задачей, чем мы до сих пор говорили. В подобных случаях аргумент зависит от того обстоятельства, что сама теория в качестве своих логических следствий имеет суждения, истинность которых может быть верифицирована непосредственным образом и которые приводят к наблюдению явлений, отличных от тех, которые теория изначально постулирует. Как мы увидим в одной из последующих глав, основания для правдоподобия теории состоят из выборки, сделанной на основе всех необходимых следствий данной теории. В случае рассматриваемого нами примера теория о том, что все металлы состоят из мельчайших вечных магнитов, помимо прочих, имеет одно следствие, заключающееся в том, что ковка или разогрев магнита способствует потере им магнетических свойств, и этот выведенный факт является непосредственно наблюдаемым. Таким образом, более полная форма данного аргумента может быть выражена так: «Этот, тот и прочие металлы демонстрируют магнетические свойства при определенных условиях» (наблюдаемый факт); однако «если эти металлы состоят из мельчайших вечных магнитов и т. д., то они проявляют магнетические свойства при указанных условиях» (общее правило); «следовательно, каждый металл состоит из вечных магнитов» и т. д. (выведенный факт, или теория, не доступная для непосредственной верификации). Однако если металлические прутья состоят из вечных магнитов, то тогда ковка или разогрев намагниченной иголки будет способствовать потере ею магнетических свойств (выведенный факт, верифицируемый непосредственным образом). Цель такой дедуктивной разработки данной теории заключается в том, чтобы снабдить ее как можно большим числом верифицируемых следствий. Аргумент в поддержку данной теории начинается с суждений, истинность которых известна, и продвигается к другим суждениям, верифицируемым непосредственным образом, с помощью теории, которая, в свою очередь, непосредственно неверифицируема. Теперь аргумент является более сложным, однако это не изменяет природы используемого вывода. Данная теория правдоподобна относительно оснований, поскольку аргумент в ее поддержку принадлежит классу аргументов, в которых относительная частота коэффициента истинности заключения при истинности посылок не равна с необходимостью 1.

Нам нужно рассмотреть и более сложные примеры умозаключений, называемых правдоподобными (вероятностными). Но прежде чем мы это сделаем, сформулируем в явной форме существенные характеристики вероятностного вывода. Некоторые из этих характеристик мы уже обозначили, другие же будут введены с учетом предстоящей дискуссии.

1. Вероятностный вывод, как любой другой вывод, основывается на некоторых отношениях между суждениями. Ни одно суждение не является с вероятностью истинным само по себе. Истинность суждения является вероятностной относительно других суждений, служащих основаниями для данного суждения.

2. Вопрос о том, обладает ли истинность предложения некоторой степенью вероятности при определенных свидетельствах, не зависит от психического состояния человека, который рассматривает данное суждение. Вопросы вероятности, как и вопросы обоснованности, следует разрешать, исключительно опираясь на объективные соображения, а не на нашу склонность или импульс к тому, чтобы принять то или иное заключение.

3. Вывод является вероятностным только постольку, поскольку он принадлежит к определенному классу выводов, в которых частота истинности выводимого заключения представляет определенный коэффициент относительно частоты истинности посылок. Иными словами, само значение термина «вероятность» подразумевает относительную частоту.

4. Поскольку вероятность истинности суждения не является характеристикой, внутренне присущей суждению, то это же суждение может обладать другой степенью правдоподобия в соответствии с основаниями, предложенными в его поддержку.

5. Основания, предлагаемые в поддержку суждения, могут обладать разной степенью существенности (релевантности). Вообще для истинности суждения выбираются те основания, которые делают коэффициент вероятности как можно более высоким. Однако существенность оснований не может определяться только формальным образом.

6. Поскольку значением измерения правдоподобия суждения является относительная частота, с которой данный тип умозаключения приведет от истинных посылок к истинному заключению, истинным является, как мы увидим, и то, что в большинстве случаев определенное нумерическое значение коэффициента вероятности неизвестно.

По сравнению с количеством случаев, когда мы заключаем, что истинность суждения является вероятностной при определенных основаниях, количество случаев, когда мы можем определить точную нумерическую величину коэффициента вероятности, относительно невелико. Это, однако, не отменяет предложенный нами анализ вероятности, поскольку мы вполне можем понять, в чем заключается ее общий смысл, не обладая при этом точными основаниями, опираясь на которые можно было бы установить ее нумерическое значение.