1.4.2 Действительная и средняя теплоемкость

В общем случае теплоемкость зависит не только от вида процесса, но и от температуры. В виду этого обстоятельства в термодинамике отличают действительную и среднюю теплоемкости.

Теплоемкости, введенные формулами (8) -(11), определяются при малых изменениях температуры тела близ фиксированных значений T. Они называются действительными теплоемкостями и нередко существенно зависят от температуры T. Значение действительной теплоемкости газов занесено в справочные таблицы. Иногда действительную теплоемкость аппроксимируют аналитическими, например степенными, зависимостями.

Чаще на практике для определения количества тепла пользуются средними теплоемкостями на интервале температур. Опишем их свойства на примере удельной массовой теплоемкости. По определению средняя теплоемкость на интервале температур (от t₁ до t₂) равняется

. (12)

где c(t) - действительная удельная теплоемкость (9).

Опираясь на определение (9), можно доказать, что формула (12) тождественна формуле:

, (13)

Таким образом, средняя удельная (массовая) теплоемкость на интервале температур - это отношение количества тепла Q, которое получает тело в процессе, к величине соответствующего интервала изменения температуры (t₂ - t₁) и массы тела m.

Зная среднюю теплоемкость, не сложно определить тепло, которое передается в процессе:

Q = m c_m(t₁,t₂)(t₁ - t₂). (14)

Если известна действительная теплоемкость c(t), то среднее ее значение легче рассчитать, базируясь на определении (12). Так, если действительная теплоемкость не зависит от температуры, то она совпадает со своим средним значением. Если действительная теплоемкость является линейной функцией температуры

c(t) = a + b t,

где a и b - константы, то ее среднее значение равняется:

.

Последняя формула означает, что при линейной зависимости действительной теплоемкости от температуры среднее значение теплоемкости равняется действительной теплоемкости при средней температуре.

Среднюю теплоемкость на произвольном интервале температур c_m(t₁,t₂) можно выразить через средние теплоемкости на интервалах температур от нулевой до данных - c_m(0,t₂) и c_m(0,t₁). Формулу связи можно получить, исходя из определения (12), используя известное из математики правило разбивки участков интегрирования:

.

На практике величину c_m(0,t), которая (в отличии от c_m(t₁,t₂)) является функцией уже одной переменной, берут из справочников.

Таким образом, из последних формул вытекает, что количество тепла, получаемое рабочим телом в процессе, связано со средней теплоемкостью тела в этом процессе соотношением

Q = m [t₂ c_m(0,t₂) - t₁ c_m(0,t₁ )].

1.4.3 Изобарная и изохорная теплоемкости

Как уже было отмечено, теплоемкость зависит от процесса. Наиболее известны теплоемкости изобарного (P = const) и изохорного (V = const) процессов. Теплоемкость изобарного процесса всегда больше теплоемкости изохорного процесса. Более того, в случае идеальных газов выполняется соотношение (закон Майєра):

c_p = c_v + R,

где c_p, c_v - соответственно, удельные массовые изобарная и изохорная теплоемкости газа, а R - его удельная газовая постоянная.

Численные значения удельных изобарной и изохорной теплоемкостей (c_p, c_v, c_p', c_v', c_p,, c_v,) можно найти в соответствующих справочниках.