2.20 Нестационарная теплопроводность в теле ограниченных размеров

Определение критериев подобия Био Bi и Фурье Fo

Если не выполняется требование (54), то размеры тела влияют на распределение температур. В таком случае с любым ограниченным телом можно связать некоторый его характерный размер L, а поведение температурного поля при граничных условиях 3-го рода удобно рассматривать, как зависимость от значения двух безразмерных величин.

Первый параметр:

(59)

называется критерием Фурье. Эта переменная имеет смысл безразмерного времени. Согласно формуле (59), это время, деленное на характерное время распространения изменений температуры сквозь тело _хар  L²/a.

Другой безразмерный параметр называется критерием Био. Эта величина задается формулой:

(60)

и совпадает с отношением характерного термического сопротивления теплопроводности тела (L/) к термическому сопротивлению теплоотдачи на границе тела со средой (1/).

Если на протяжении процесса температура среды t_f остается неизменной, то имеет смысл вместо температуры t ввести новую безразмерную переменную:

,

которая называется относительной избыточной температурой тела. В терминах этой температуры уравнения приобретают очень удобный для обобщений безразмерный вид, позволяющий одновременно анализировать широкий класс задач нестационарной теплопроводности.

Решение такой задачи в фиксированных точках тела:

θ = θ(Fo,Bi)

зависит только от критериев Фурье и Био. Как функция двух переменных оно может быть приставлено в виде номограммы, пример которой приведен на рисунке 16.

По осям номограммы отложены значения величин θ и Fo. Линии на поле номограммы отвечают фиксированным значениям критерия Био, численное значения которых указаны непосредственно на линиях.

Основным недостатком представления результатов в виде номограмм является то обстоятельство, что номограмма строится для фиксированной точки тела, т.е. для каждой точки надо строить свою номограмму.

Прогрев плиты при граничных условиях 3-го рода

На случай необходимости знать температуру в произвольных точках тела нужно иметь аналитическое выражение решения уравнения (48). В случае задачи о двухстороннем нагреве стенки от начальной температуры t₀ к температуре среды t_f (смотри рисунок 17) решение имеет вид бесконечной суммы слагаемых, различающихся значениями чисел _i и A_i:

. (61)

где X ≡ x/L, а характерный размер L равняется половине толщины плиты (L = R), Fo - критерий Фурье (59).

Рисунок 17 - Схема нагрева стенки (а) и характерные пространственные распределения температуры в стенке в ходе нагрева (б)

Величины _i являются корнями так называемого характеристического уравнения, которое в данной задаче имеет вид:

ctg() = /Bi. (62)

В качестве корней принято рассматривать их положительные значения. Корни пронумерованы, начиная с первого, в порядке роста. Как следует из уравнения (62), величина корня с фиксированным номером зависит лишь от величины критерия Био. Значения начальных корней, наиболее часто встречающиеся в расчетах, занесены в таблицы (Приложение Д).

Неопределенные коэффициенты A_i отыскиваются из требования выполнения начальных условий. Так, при постоянной начальной температуре t₀, множители A_i равняются:

. (63)

Значения величин A_i с начальными номерами "i" также занесены в таблицы (смотри Приложение Д).

Не следует смущаться бесконечным количеством слагаемых в сумме (61). В связи с наличием множителей exp(- _i²∙Fo), которые быстро уменьшаются с ростом "i", реально оказываются важными лишь несколько первых слагаемых. Именно это обстоятельство обеспечивает эффективность использования таблиц.

Нагревание тел конечных размеров при малых критериях Био

Приведем результаты, описывающие нагревание (охлаждение) тела конечных размеров и произвольной формы (смотри рисунок 18) при малых значениях критерия Био (Bi << 1).

Рисунок 18 - К задаче о нагревании тела конечных размеров

Из граничных условий (52) и малости критерия Био следует, что температура в теле от точки к точке практически не изменяется, иначе говоря, температурное поле в теле почти однородное (квазиоднородное). Последнее обстоятельство позволяет записать уравнение теплового баланса тела с окружающей средой, используя для всего тела одну температуру. В этом приближении, приравнивая поток тепла сквозь поверхность тела (∙(t_f – t)∙F) к скорости изменения его енергосодержания, можно записать обычное (а не в частных производных) дифференциальное уравнение:

.

где F - площадь поверхности теплообмена, V - объем тела.

Если параметры последнего уравнения являются постоянными величинами, то его решение (в случае начальной температуры t = t₀) имеет вид:

t = t_f - (t_f – t₀) exp(-m ), (64)

где использована величина

, с^-1, (65)

которая называется темпом нагрева (охлаждение). Эта характеристика обратная к времени, за которое относительная температура изменяется в е (е  2.7) раз.

Особенности строения тела влияют на его темп нагрева через множитель (F/V). Последний нетрудно оценить. Так, в случае тонкой пластины толщиной 2R при двустороннем обогреве F/V=1/R, а в случае цилиндра радиусом R имеет место оценка F/V=2/R.

Уравнение (64) можно обернуть, выразив время через температуру:

. (66)

Последняя формула позволяет, например, оценить время  = _кр нагрева тела до критической температуры t_кр (для этого надо подставить в (66) значение t = t_кр).