Указания к решению задач рр-2

Задача 1. Для решения задачи необходимо выучить материал, изложенный в вопросах 2.8, 2.9, 2.14 - 2.16 теоретической части данного пособия, или 12.2 в учебнике [1].

В задаче 1 исследуется процесс теплопередачи между горячей газовой средой подвала и относительно холодным воздухом помещения первого этажа. Данный процесс в случае простого перекрытия - это теплопередача сквозь однослойную плоскую стенку, в случае перекрытия с дощатым настилом - теплопередача сквозь двухслойную плоскую стенку. Отдельно рассмотрим эти два варианта.

В случае однослойной стенки (смотри рисунок 22. а) удельный стационарный тепловой поток рассчитывается по формуле

, (5)

где

R_α1 ≡ 1/α₁, R_α2 ≡ 1/α₂, (6)

- термические сопротивления теплоотдачи по разные стороны перекрытия, а

R_λ1 ≡ _1/₁, (7)

- термическое сопротивление теплопроводности бетонного перекрытия.

Зная тепловой поток, можно определить температуры на поверхностях плиты. Действительно, в связи с пространственной неизменностью стационарного потока тепла выполняются соотношения

,

что для температур дает

t₁ = t_f - q R_1, (8)

t₂ = t"_f + q R_2. (9)

Если плита покрыта настилом (смотри рисунок 22. б) приведенные соотношения частично трансформируются. В этом случае удельный стационарный тепловой поток рассчитывается по формуле

, (10)

где

R_λ2 ≡ _2/₂, (11)

- термическое сопротивление теплопроводности дощатого настила. Неизменность потока в пространстве приводит к соотношениям

,

что для расчета температур кроме формулы (8) дает

t₂ = t₁ - q R_λ1, (12)

t₃ = t"_f + q R_2. (13)

Основная проблема расчетов состоит в том, что термические сопротивления R_λ1 и R_2, согласно соотношениям (2)-(4), сами зависят от искомых неизвестных температур t₁, t₂ (и t₃, в случае "б"). В связи с этим задача решается методом последовательных приближений. В начальном (нулевом) приближении температуры t₁, t₂ (и t₃, в случае "б") выбираются более или менее произвольно. Дальше на их основе с использованием формул (2)-(4) рассчитываются термические сопротивления R_λ1, R_2 и дальше удельный тепловой поток q, что дает возможность по формулам (8), (9) (или (8), (12), (13) в случае "б") рассчитать температуры t₁, t₂ (и t₃, в случае "б") в следующем приближении.

Точность результатов контролируется сравнением величин температур в одинаковых точках в последовательных приближениях. Когда относительное расхождение значений температуры становится меньше заданной величины (у нас 5%), расчеты прекращаются.

Методика расчета

Ниже приведены соотношения, последовательное применение которых позволяет решить задачу методом последовательных приближений (номер приближения "n = 0, 1, 2, …" отмечается над символом соответствующей величины верхним индексом в скобках).

В случае "а" используются формулы (1), (14) - (18), расчеты завершают при условии (19). В случае "б" используются формулы (1), (14), (15), (20) - (22) и (17), расчеты завершают при условиях (19) и (23).

Значения температур нулевого приближения (и в случае "б") выбираются произвольно в пределах условий (в случае "б": ).

, Вт/(м К), (14)

, (α₂ из формул (2), (3)) (15)

, (16)

, (17)

, (18)

, (19)

, (20)

, (21)

, (22)

. (23)

Проиллюстрируем расчеты температуры на примере теплопередачи сквозь плиту с настилом при следующих условиях: t_f' = 530^оС, δ₁ =17,5 см, δ₂ =3,5 см (по общим условиям: t_f'' = 20^oС, λ₂ = 0,168 Вт/(м² К)).

Возьмем в нулевом приближении (n = 0)

.

1. Согласно формуле (1)

, Вт/(м² К);

2. Согласно формуле (14)

, Вт/(м∙К).

2. Согласно формуле (15), учитывая, что t_пов= t₃ и ,

согласно (3) получим

, Вт/(м² К).

4. Согласно формуле (20)

, Вт/м².

5. Согласно формуле (17)

.

6. Согласно формуле (21)

.

7. Согласно формуле (22)

.

8. Согласно формулам (19) и (23) проверим точность результата

,

В связи с неудовлетворительной точностью продолжаем расчет, но уже в первом приближении (n = 1). Возвращаемся к пункту 2.

2'. Согласно формуле (14)

, Вт/(м∙К).

3'. Согласно формуле (15), учитывая, что t_пов= t₃ и , согласно (3) получим

, Вт/(м² К).

4'. Согласно формуле (20)

, Вт/м².

5'. Согласно формуле (17)

.

6'. Согласно формуле (21)

.

7'. Согласно формуле (22)

.

8'. Согласно формулам (19) и (23) проверим точность результата

,

.

Таким образом, с точностью не худшей 2% температура по разные стороны дощатого настила составляет t₂ = 294^оС, t₃ = 89^оС. Из-за того, что t₂ превышает температуру пиролиза древесины t_п = 200^оС, ситуация в помещении первого этажа является пожароопасной.

Задача 2. Для решения задачи необходимо выучить материал, изложенный в пунктах 2.8 –2.10, 2.12, 2.14, 2.15 теоретической части данного пособия, или 9.3.2, 12.2 в учебнике [1], или в 13.5, 14.2, 14.3 и 19.3 в учебнике [2], или в главе 9 (1, 2, 5) и главе 11 (3) в учебнике [5|.

Процесс передачи тепла от воды к воздуху сквозь стенку рукава является процессом теплопередачи. В связи с этим поток тепла Q, идущий сквозь поверхность рукава, удовлетворяет основному уравнению теплопередачи (смотри соотношение (42) вопроса 2.14 теоретической части данного пособия), из которого следует, что длина рукавной линии L пропорциональна потоку Q, Вт:

, Вт, (24)

где K - коэффициент теплопередачи от воды к воздуху, Вт/(м² К);

t_в = (t_в.н + t_в.к)/2 - средняя температура воды в рукавной линии,°С;

d_cp = d + b - средний диаметр рукава, м. В свою очередь, поток тепла совпадает с ежесекундным уменьшением энтальпии воды, сопровождающим ее охлаждение,

, Вт, (25)

где с_р.в – удельная изобарная теплоемкость воды, Дж/(кг∙К);

G_в = ρ_в w_в π d²/4 – массовый расход воды сквозь рукав, кг/с;

ρ_в - плотность воды, кг/м³.

Из-за того, что толщина стенок рукава значительно меньше его диаметра, при расчете коэффициента теплопередачи используется формула, описывающая плоскую ситуацию

, (26)

где α₁ - коэффициент теплоотдачи от воды к поверхности рукава, Вт/(м² К);

α₂ - коэффициент теплоотдачи от поверхности рукава к воздуху, Вт/(м² К).

Коэффициенты теплоотдачи связаны с числами подобия Нуссельта Nu₁ и Nu₂ соотношениями:

, ,

где λ_в и λ_воз - коэффициенты теплопроводности воды и воздуха, соответственно, Вт/(м К);

d_вне = d+2∙b - внешний диаметр рукава, м.

Числа Нуссельта, в свою очередь, рассчитываются при помощи соответствующих критериальных уравнений (приложение Б). При этом, из-за того, что рассматривается ситуация вынужденной конвекции, необходимо в каждом случае определять величины критерия Рейнольдса Re. При течении воды в рукаве он равен Re₁ = w_в∙d/ν_в, а при обдувании этого рукава воздухом - Re₂ = w_воз∙d_вне/ν_воз, где ν_в, и ν_воз - коэффициенты кинематической вязкости воды и воздуха, соответственно. Физические параметры, значения которых неизвестны, в частности критерий Прандтля Pr, необходимо брать в справочных таблицах. При этом для воды можно воспользоваться приложением В, а для воздуха - приложением Г. Отметим, что в данных условиях сомножитель (Рr_f/Pr_w)^0.25 (приложение Б) с большой точностью равняется единице и поэтому в критериальных уравнениях может не учитываться.