2.18 Нестационарная теплопроводность: граничные условия (физическая сущность и уравнение).

Кроме уравнения, существенное влияние на вид решения оказывают граничные условия, которые определяют характер взаимодействия тела с окружающей средой. Мы будем рассматривать наиболее распространенные условия трех типов.

1) Ситуация, когда на границе тела задана его температура, называется граничными условиями 1-го рода. Их можно интерпретировать как совпадение температуры тела на его границе с заданной температурой t_w (которой, в частности, может быть температура окружающей среды t_f):

. (50)

(Здесь и дальше значок _гр указывает на то, что значение величины берется на границе тела.)

2) Вариант, в котором задан поток тепла на границе, называется граничными условиями 2-го рода. Соответствующее условие выражается соотношением:

. (51)

Здесь q_w – заданная функция, которую можно интерпретировать как нормальную к поверхности тела компоненту удельного теплового потока, а t/n_гр - составляющая градиента температуры по нормали к поверхности тела (напоминаем, что в теле, согласно уравнению Фурье, удельный тепловой поток равняется q = -  grad t).

3) Ситуация, когда непрерывный поток тепла на границе тела задается законом Ньютона-Рихмана с известным коэффициентом теплоотдачи () и заданной температурой t_f среды, омывающей тело, – это граничные условия 3-го рода. В этом случае температура тела близи его границы удовлетворяет условию:

. (52)

Нетрудно заметить, что при    задача 3-го рода переходит в задачу 1-го рода, в которой температура на границе t_w совпадает с температурой внешней среды t_f.

При не очень больших значениях времени  на вид решения существенным образом влияют начальные условия - значение температурного поля в начальный момент времени ( = 0). Как правило, если это не обуславливается отдельно, считают, что начальная температура тела однородна:

t(х, 0) = t₀ = const. (53)

2.19 Нестационарная теплопроводность: зависимость температуры в полуограниченном теле от времени и координаты в случае стационарных граничных условий 3-го и 1-го рода

Полуограниченное тело - тело, которое ограничено с одной стороны плоскостью, а в других направлениях имеет бесконечные размеры.

Полуограниченное тело - это абстрактный объект. Реальное тело можно рассматривать как полуограниченное, если можно пренебрегать влиянием других границ тела на протекание процессов вблизи данной, рассматриваемой как плоскость, границы. Так, стену считают бесконечно толстой, если выполняется соотношение:

, (54)

где δ - толщина стенки,

а - коэффициент температуропроводности материала стенки,

τ - время рассмотрения процесса теплопроводности.

Распределение температур при граничных условиях 3-го рода

Как уже отмечалось, к задачам с граничными условиями 3-го рода приходят, когда теплообмен рассмотренного тела с окружающей средой подчиняется закону Ньютона-Рихмана с заданными коэффициентом теплоотдачи и температурой среды.

Рассмотрим теплопроводность в теле, которое простирается неограниченно в направлении оси +0х и осей ±0у и ±0z (в прямоугольной системе координат). Это тело ограничено плоскостью, перпендикулярной к оси 0х при х = 0 (смотри рисунок 14).

Будем считать, что сначала во всех точках тело имело одинаковую температуру t₀. Начиная с начального момента времени, тело находится в термическом взаимодействии с внешней средой, температура которого t_f не изменяется на протяжении всего процесса. Неизменным также остается коэффициент теплоотдачи α. Если коэффициент температуропроводности тела имеет постоянное значение а, то распределение температуры t(x,τ) по направлению в глубину тела, как показывает решение уравнения (48) с граничными условиями (52) и начальным распределением (53), имеет вид:

, (55)

где erfc(A) - дополнительная функция ошибок.

Рисунок 14 - График пространственного распределения температуры в полуограниченном теле в фиксированный момент времени

Дополнительная функция ошибок erfc(A) простым образом связана с другой специальной функцией erf(A):

erfc(A)1 - erf(A). (56)

Последняя имеет название Гауссов интеграл ошибок (error function, функция Крампа). Таблицы значений функции Крампа приведены во многих пособиях по теплопередачи (смотри также Приложение Ж). График функции изображен на рисунке 15.

Как следует из расчетов, при А > 2.7 функция erf(А) равняется 1 с погрешностью менее чем 0.01 %. При расчетах функции Крампа в этой области значений аргумента А можно воспользоваться асимптотической формулой:

, (57)

где выражением О(Z) обозначается величина порядка Z.

Рисунок 15 - График Гауссова интеграла ошибок (функции Крампа) y = erf(A)

Распределение температур при граничных условиях 1-го рода

В случае задач с граничными условиями 1-го рода, задается температура t_w на поверхности тела. Как уже отмечалось раньше, решение задачи 1-го рода можно получить из решения задачи 3-го рода, если устремить температуру тела на границе t_w к температуре среды t_f. Это условие автоматически выполняется в случае очень интенсивного теплообмена, когда (α/λ)→∞. В результате из формулы (55) получается температурное распределение при граничных условиях 1-го рода:

. (58)