Задача 2.

Подробный разбор вопроса можно посмотреть в учебниках по технической термодинамики (смотрите например [1, 3-7]).

Для задания равновесного состояния вещества можно пользоваться любой парой термодинамических параметров состояния. Мы будем использовать i-s-диаграмму, так как она удобна при вычислении энергетических величин (теплоты и работы). На рисунке 19 приведено ее схематическое изображение в случае водяного пара.

Опишем основные особенности этой диаграммы. Критическая точка K размещена левее максимума пограничной кривой AKB. Нижняя пограничная кривая отвечает линии AK .Верхняя пограничная кривая KB заканчивается в точке B. На диаграмме нанесена изобара OB, соответствующая давлению в тройной точке воды (P = 0.00611 бар). Область ниже отвечает двухфазной смеси "пар - лед".

Рисунок 19 - Схематическое изображение i-s-диаграммы водного пара Значение давления P приводится в барах, температуры t – в градусах Цельсия, степени сухости x - в долях.

Линия KB соответствует состоянию сухого насыщенного пара (х=1). Она отделяет область влажного насыщенного от области перегретого пара.

Область, ограниченная изобарой ОВ и пограничною кривой ОКВ - область влажного насыщенного пара. В этой области изобароизотермы являются прямыми линиями, которые веером разбегаются от точки О к верхней пограничной кривой. Это следствие изобароизотермичности процесса парообразования.

В области перегретого пара, расположенной над верхней пограничною кривой КВ, изобары поднимаются вверх с выпуклостью вниз. Изотермы в этой области поднимаются вверх с выпуклостью вверх. При этом по мере удаления от верхней пограничной кривой они асимптотически приближаются к горизонтальным линиям, отвечающим идеальному газу, энтальпия которого определяется температурой.

На диаграмме также нанесена сетка изохор (v=const) - пунктирные линии на рисунке 19. Они поднимаются вверх более круто, чем линии изобар. В области влажного насыщенного пара нанесена сетка линий постоянной степени сухости пара (х=const), сходящихся в критической точке К.

Рассмотрим общие основы расчета процессов изменения состояния пара с использованием i-s-диаграммы состояния.

Сначала по заданным данным на диаграмме строится график процесса. В ходе построения, находят изокривые, проходящие через заданные точки, определяют численные значения параметров пара в начальном и конечном состояниях.

В любой точке сразу же можно считать значение следующих термодинамических параметров: удельной энтальпии i, удельной энтропии s, удельного объема v, давления P, температуры t, а в области влажного насыщенного пара еще и степени сухости пара х.

Зная удельную энтальпию, давление и удельный объем, можно по общей формуле вычислить удельную внутреннюю энергию в произвольном состоянии

u = i – P v. (1)

Формула (1) позволяет определить изменение внутренней энергии пара любом процессе нк:

u_нк ≡ u_к – u_н= i_к – i_н- (P_к v_к – P_нv_н),

Удельная работа может быть рассчитана на основе первого закона термодинамики

l_нк = q_нк - u_нк,

где q_нк - удельная теплота процесса.

Теплоты процессов определяются по соответствующим формулам (смотри таблицу 9)

Перейдем непосредственно к изложению методики использования i-s-диаграммы водяного пара (последняя приведена в приложениях). Расчеты будем демонстрировать на примере процессов, начинающихся из начального состояния с давлением P₁ = 1.5 МПа = 1500 кПа и степенью сухости x₁ = 0.94, в ходе которых к водяному пару подводится q = 490 кДж/кг тепла.

Таблица 9- Связь энергетических параметров в процессах

Процесс н→к	Изменение внутренней энергии, uнк	Теплота qнк	Работа lнк
Изотермический T=Tн=Tк=const	iк – iн- (Pк vк – Pнvн)	T (sк - sн)	qнк - uнк
Изобарный P=Pн=Pк=const	iк – iн - P (vк – vн)	iк - iн	P (vк - vн), или qнк - uнк

Порядок определения параметров начального состояния

Расчеты всех процессов начинаются с определения параметров начального состояния системы. Для этого необходимо найти точку на i-s-диаграмме, отвечающую начальному состоянию (смотри, например, точку 1 на рисунке 20). В нашей задаче начальная точка 1 определяется пересечением изобары P = P₁ с линией постоянной степени сухости x = x₁. Порядок действия изложен дальше.

1. Определить точку, отвечающую начальному состоянию на диаграмме. Для этого:

   1. определить линию, являющуюся изобарой P = P₁ (P₁ = 1500 кПа);

   2. определить линию постоянной степени сухости x = x₁ (x₁ = 0.94).

Точка пересечения этих двух линий и будет точкой 1, отвечающая начальному состоянию системы.

2. Определить значение термодинамических параметров (непосредственно нанесенных на диаграмму) в начальном состоянии 1. Для этого необходимо определить изолинии, пересекающие точку 1, т.е. надо:

   1. для определения удельного объема найти, какая изохора пересекает точку 1 (объем, отвечающий этой изохоре, и будет давать v₁ (v₁ = 0.13 м³/кг);

   2. для определения температуры найти, какая изотерма пересекает точку 1 (температура, отвечающая этой изотерме, и будет давать t₁ (t₁ = 200^oС);

2.3. для определения удельной энтропии найти, какая линия постоянной энтропии (изоэнтропа) пересекает точку 1 (для этого необходимо через точку 1 провести перпендикуляр к оси энтропий; значение удельной энтропии на этом перпендикуляре и будет давать s₁ (s₁ = 6.20 кДж/(кг∙К)) );

4. для определения удельной энтальпии найти, какая линия постоянной энтальпии (изоэнтальпа) пересекает точку 1 (для этого необходимо через точку 1 провести перпендикуляр к оси энтальпий; значение удельной энтальпии на этом перпендикуляре и будет давать i₁ (i₁ = 2680 кДж/кг) ).

2. Рассчитать значение удельной внутренней энергии в состоянии 1 (для чего воспользоваться общим термодинамическим соотношениям (1))

u₁ = i₁ - P₁ v₁. (u₁ = 2680 – 1500∙0.13 = 2485 кДж/кг)

Порядок определения параметров изотермического процесса

Графическим отображением изотермического процесса является линия 12 (смотрите рисунок 20).

Рисунок 20 - Схематическое изображение изотермического процесса на i-s-диаграмме

Если конечная точка 2 изотермического процесса задается количеством подведенного тепла, тогда она расположена на пересечении изотермы t = t₁ с изоэнтропою s = s₂. Конечная удельная энтропия (s₂) рассчитывается из связи удельной теплоты q, подводимой к телу в изотермическом процессе, с изменением энтропии –

q = T∙(s₂ – s₁)  s₂ = s₁ + q/T₁.

В связи со сказанным расчет идет по следующей схеме.

2. Определить конечную точку изотермического процесса. Для этого:

   4. рассчитать энтропию конечного состояния изотермического процесса

s₂ = s₁ + q/T₁ = s₁ + q/(t₁ +273) ;

(s₂ = 6.20+ 490/(200 + 273) = 7.24 кДж/(кг∙К))

4. найти линию, являющуюся изоэнтропою s = s₂ (это вертикаль, которая пересекает ось энтропий в точке s₂ (s₂ = 7.24 кДж/(кг∙К) );

5. найти точку пересечения изоэнтропы s = s₂ с изотермой t = t₂ (t₂ = t₁ = 200^оС); это и есть конечная точка 2.

2. Придерживаясь методики пункта 2, определить в точке 2 значение термодинамических параметров, непосредственно нанесенных на диаграмму:

   4. для определения удельного объема найти, какая изохора проходит через точку 2 (объем, отвечающий этой изохоре, и будет давать v₂ (v₂ = 0.60 м³/кг);

   5. для определения давления найти, какая изобара пересекает точку 2 (давление, отвечающее этой изобаре, и будет давать P₂ (P₂ = 370 кПа);

   6. для определения удельной энтальпии найти, какая линия постоянной энтальпии (изоэнтальпа) пересекает точку 2 (для этого необходимо через точку 2 провести перпендикуляр к оси энтальпий; значение удельной энтальпии на этом перпендикуляре и будет давать i₂ (i₂ = 2865 кДж/кг)).

3. Рассчитать значение удельной внутренней энергии в состоянии 2 (для чего воспользоваться общим термодинамическим соотношением (1))

u₂ = i₂ – P₂ v₂. (u₂ = 2865 – 370∙0.60 = 2640 кДж/кг)

2. Рассчитать значение энергетических параметров в процессе:

   4. изменение внутренней энергии равняется

u_12 = u₂ - u₁ (u_12 = 2640 – 2485 = 155 кДж/кг);

7.2. изменение энтальпии равняется

i_12 = i₂ - i₁ (i_12 = 2865 – 2680 = 185 кДж/кг);

3. изменение энтропии равняется

s_12 = s₂ - s₁ (s_12 = 7.24 – 6.20 = 1.04 кДж/(кг∙K));

3. работа расширения равняется

l_12 = q_12 - u_12 (l_12 = 490 – 155 = 335 кДж/кг).

Порядок определения параметров изобарного процесса.

Графическим отображением изобарного процесса является линия 13 (смотрите рисунок 21).

В связи со сказанным расчет идет по следующей схеме.

2. Определить конечную точку изобарного процесса. Для этого:

   4. рассчитать энтальпию конечного состояния изобарного процесса

i₃ = i₁ + q (i₃ = 2680 + 490 = 3170 кДж/кг);

4. найти линию, являющуюся изоэнтальпою i = i₃ (это горизонталь, пересекающая ось энтальпий в точке i₃ (i₃ = 3170 кДж/(кг∙К)));

5. найти точку пересечения изоэнтальпы i = i₃ с изобарой P = P₃ (P₃ = P₁ = 1500 кПа); это и есть конечная точка 3.

Рисунок 21 - Схематическое изображение изобарного процесса на i-s-диаграмме.

2. Придерживаясь методики пункта 2, определить в точке 3 значение термодинамических параметров, непосредственно нанесенных на диаграмму:

   4. для определения удельного объема найти, какая изохора пересекает точку 3 (объем, отвечающий этой изохоре, и будет давать v₃ (v₃ = 0.20 м³/кг));

   5. для определения температуры найти, какая изотерма пересекает точку 3 (температура, отвечающая этой изотерме, и будет давать t₃ (t₃ = 360^oС));

   6. для определения удельной энтропии найти, какая линия постоянной энтропии (изоэнтропа) пересекает точку 3 (для этого необходимо через точку 3 провести перпендикуляр к оси энтропий; значение удельной энтропии на этом перпендикуляре и будет давать s₃ (s₃ = 7.15 кДж/(кг∙К)));

3. Рассчитать значение удельной внутренней энергии в состоянии 3 (для чего воспользоваться общим термодинамическим соотношением (1))

u₃ = i₃ – P₃ v₃. (u₃ = 3170 -1500∙0.20 = 2870 кДж/кг)

2. Рассчитать значение энергетических параметров в процессе:

   4. изменение внутренней энергии равняется

u_13 = u₃ - u₁ (u_13 = 2870 – 2485 = 385 кДж/кг);

11.2. изменение энтальпии равняется

i_13 = i₃ - i₁ = q (i_13 = 3170 – 2680 = 490 кДж/кг);

3. изменение энтропии равняется

s_13 = s₃ - s₁ (s_13 = 7.15 – 6.20 = 0.95 кДж/(кг∙K));

3. работа расширения равняется

l_13 = q_13 - u_13 (l_13 = 490 – 385 = 105 кДж/кг),

что в данном случае должно совпадать с

l_13 = P₁∙(v₃ - v₁) (l_13 = 1500∙(0.20 – 0.13) = 105 кДж/кг).

Результаты целесообразно оформить в виде двух таблиц. Смотри заполненные таблицы 10 и 11 (в которых начальные выделены жирным шрифтом).

Таблица 10 - Параметры состояния водяного пара

Номер состояния	Термодинамический параметр
	Степень сухости, x	Давление P, кПа	Удельный объем, v, м3/кг	Температура t, оС	Удельная энтальпия i, кДж/кг	Удельная энтропия, s,	Удельная внутренняя энергия, u, кДж/кг
1	0.94	1500	0.13	200	2680	6.20	2485
2	-	370	0.60	200	2865	7.24	2640
3	-	1500	0.20	360	3170	7.15	2870

Таблица 11 - Изменения энергетических величин в процессах водяного пара

Направление процесса	Изменение величины в процессе
	Изменение удельной внутренней энергии Δu, кДж/кг	Изменение удельной энтальпии Δi, кДж/кг	Изменение удельной энтропии Δs,	Удельная работа l, кДж/кг
1 2	155	185	1.04	335
1 3	385	490	0.95	105