Методика расчета
а) Считая плиту неограниченной плоской пластиною:
1. Рассчитайте числа (критерии) Био и Фурье.
2. По числу Фурье определите, сколько членов ряда в расчетном уравнении (31) надо учитывать.
3. По числу Био, используя приложения Д, определите значения i и Аi. Если необходимо, воспользуйтесь при этом методом линейной интерполяции.
4. Рассчитайте температуру в плите перекрытия на заданном расстоянии от поверхности, беря за основу формулу (31) с определенным ранее (в пункте 2) числом слагаемых.
б) Рассматривая плиту как полуограниченное тело:
1. По формулам (33) рассчитайте аргументы функции Крампа (X1 и Х2) и экспоненты (Х3) из соотношения (32).
2. Определите значение функции Крампа.
3. По формуле (32) рассчитайте значение искомой температуры.
4. Сравните значения температуры, полученные в случаях "а" и "б". В случае Fо<<1 они должны хорошо совпадать (для улучшения совпадения необходимо в случае "а" учитывать большее число слагаемых в сумме формулы (32)).
Проиллюстрируем расчеты температур при следующих условиях: b = 21 см,·s = 8 cм, tf = 1030оС, τ = 50 мин. (по общим условиям: t0 = 20°C, λ = 1,2 Вт/(м·К), а = 5,6·10-7 м2/с, коэффициент теплоотдачи рассчитывается по формуле α = 11,63·eхр(0,0023·tf), Вт/(м2·К)).
а) Считая плиту неограниченной плоской пластиною:
1. Рассчитаем критерии Био и Фурье.
1.1. Коэффициент теплоотдачи
α = 11,63·eхр(0,0023·tf) = 11,63·eхр(0,0023·1030) = 124,3 Вт/(м2·К).
1.2. Критерий Био
Ві = α·b/λ = 124,3·0,21/1,2 = 21,75.
1.3. Критерий Фурье
Fo = а·τ/b2 = 5,6·10-7·50·60/0,212 = 0,0381.
2. Из-за того, что Fo = 0,0381<0.1, в расчетном уравнении (31) возьмем сумму трех первых членов ряда.
3. По значению Bі = 21.75 с помощью приложения Д определим численные значения i и Аi. Воспользуемся для этого методом линейной интерполяции, согласно которому
.
Беря данные из таблицы 16 (которая является фрагментом таблицы приложения Д), получим
,
,
.
Таблица 16 - Данные из Приложения Д
Bi |
μ1 |
μ2 |
μ3 |
А1 |
А2 |
А3 |
20.0 |
1.496 |
4.492 |
7.495 |
1.270 |
-0.415 |
0.239 |
30.0 |
1.520 |
4.562 |
7.606 |
1.272 |
-0.420 |
0.247 |
Аналогично
,
,
.
4. Рассчитаем температуру в плите перекрытия.
4.1. Согласно пункту 2 рассчитаем три слагаемых θi суммы формулы (31) при х = b – s = 0.21-0.08 = 0.13 м.
.
,
,
4.2. Рассчитаем температуру
б) Считая плиту полуограниченным телом:
1. По формулам (33) рассчитываем аргументы функции Крампа (X1 и Х2) и экспоненты (Х3) из соотношения (32):
,
,
.
2. Определим значение функции Крампа.
2.1. Значение erf(X1) определим по таблице из приложения Ж, используя метод линейной интерполяции:
2.2. Значение произведения exp(X3)·erfc(X2) определим, используя асимптотику функции Крампа при больших значений аргумента (смотри, например, приложение Ж):
.
3. По формуле (32) рассчитываем значение температуры:
.
4. Рассчитаем относительное расхождение температур, полученных в случаях "а" и "б" (из-за того, что плита имеет конечную толщину, за основу берется случай "а")
.
В связи с тем, что требование большой толщины пластины (смотри соотношение (54) теоретической части пособия)
выполняется с запасом, расхождение в 3% означает, что для улучшения совпадения необходимо в случае "а" учитывать больше (не три, а четыре) слагаемых в сумме по "i" формулы (31).