§2. Предел и непрерывность

вектор-функции скалярного аргумента

Пусть пектор-функиия г = r(t) скалярного аргумента t определена и некоторой окрестности значения f₀ аргумента t_% кроме, быть может,

самого значения до- определение 1. Постоянный век- тор А называется пределом вектора г(/) при t -♦ <о, если для любого е > 0 су- ществует б > 0 такое, что для всех t ф <о. удовлетворяющих условию |< - <ol < выполняется неравенство

|г(0 — Л| < е.

Как и в обычном анализе, пишут

lim г(£) = А. Рис.4

Геометрически это означает, что вектор r(t) при t —* to стремится к вектору А как по длине, так и по направлению (рис. 4).

Определение 2. Вектор a(t) называется бесконечно малым при t —♦ f₀, если а(<) имеет предел при t —* <о и этот предел ранен нулю:

lim a(t) as О,

или, что то же, для любого с > 0 существует 6 > 0 такое, что дли всех t ф fc. удовлетворяющих условию |f - 2q| < б, выполняется неравенство |a(f)| < е.

Пример 1. Показать, что вектор a(t) — П-f sin /| есть бесконечно малый вектор при t — 0.

Решение. Имеем

1°(01 *|<*-f sinij| 4И + |*1п 1|<2|<|»

е z

откуда видно, что если для всякого е > 0 взять 6 = -, то при |f—0| < б = - будем

иметь |о(()| < с. Согласно определению это означает, что а(1) есть бесконечно милый нектор при f —* 0. , ... >

Задачи для самостоятельного решения

2. Показать, что предел модули вектора равен модулю его предела, если послед- им» предел существует.

3. Доказать, что для того чтобы исктор-фуикини г(£) имела при < -♦ f₀ предел А. необходимо и достаточно, чтобы r(t) можно было прслстаанть в виде

г(0 = А+о(1),

Tiic o(t) — бесконечно малый при t — £₀ лектор.

Глава 1. Вектор-функция скалярного аргумента

2. Показать, что если вектор-функции a(f) и Ь(1) имеют при t —• to пределы:

lim a(d) = A, lim b(t) = В,

1-«В

то их сумме a(t) + b(t) и разность a(t) - b(t) также имеют пределы при t — t₀, причем

lim (a(t) ± b(t)] = А ± В.

Ml

2. Пусть.

lim a(t) = A, lim b(t) = В.

*-*о *—«о

Доказать, что

lim (a(t), b(t)) = (А, В),

*~<о

где (■(/), Ь(<)) — скалярное произпеление вектор-функций a(t) и b{t).

2. Пусть

r(t) = *(t)l + y(t)j + *(f)k, А = o,l + aj + ajk.

Показать, что если lim r(t) = А, то i-«o

limx(t) = ai, Hmy(t) = aj, lim a(t) = aj.

I-to f-*t l-to

Найти следующие пределы:

_ /sin f cost-I,

⁷- '!Z\~r'⁺~2f~^l+e )■

9. I»m ( -7-I + COBIJ + ——It). t-« \ • t + ж /

"•к(ёг-тЙН-

• 53 \—t

.1 m({±

t—t \t-K

1-%/t, f

^l+TO¹*"

)

I + C061 t \

l+—J—J+-kj.

Определение 3. Вектор-функция г = r(t), определенная в некоторой окрестности значения I = /о. называется непрерывной при t = £о. если

lim r(t) = r(*e).

t-k

Иными словами, г = r(t) непрерывна при t = tо, если для всякого с > 0 существует б > 0 такое, что для всех t, удовлетворяющих условию |f - <ol < Я. верно неравенство |r(f) - r(t₀)l < с.

Годографом непрерывной всктор-функини скалярного аргумента является непрерывная кривая.

Задачи для самостоятельного решения

12. Исходя из известного неравенства |а - Ь| ^ ||а| - |Ь||, показать, что непре­рывность вектор-функиии влечет за собой непрерывность ее модуля. Верно ли обратное предложение?

13. Показать, что если в(1) и b(t) непрерывны при t = te, то всктор-функ- иия i(t) + b(t) также непрерывна при I = t₀.

7

12. Вектор-функиия а(<) + b(t) непрерывна при t = (о* Следует ли отсюда, что векторы ж(<) и Ь(0 также непрерывны при t — to?

13. Доказать, что если а(0 и ь(() — непрерывные вектор-функиии, то их скалярное произведение (»(f), h(f)) и векторное произведение («(f), b(t)j также непрерывны.

§3. Производная вектор-функции по скалярному аргументу

Пусть вектор-функция г = г(<) определена для всех t из интервала (f₀,ti). Возьмем некоторое значение t € (*о. М» дадим t приращение At такое, чтобы / + Д/ € (*o,*i) и найдем соответствующее приращение Аг =

Дг

r(f + At) - r(f) иектор-функции г(<). Рассмотрим далее отношение

At

Аг

Определение. Если при At -* 0 отношение — имеет предел, то

этот предел называется производной вектор-функнии г = г(t) по ска- лярному аргументу t при данном значении t аргумента и обозначается

(а также r^/(t) или г($)). Таким образом, at

—- = lim — = lim —

(It Д|—0 Аг Дг-0 Аг

В этом случае вектор-функиия г = г(#) называется дифференцируемой.

Задача для самостоятельного решения

12. Показать, что если вектор-функиия г = г(1) имеет производную при некото­ром значении t аргумента, то она нспрсрывиа при этом значении t.

Произиолная вектор-функции r(t) скалярного аргумента t есть век- тор, направленный по касательной к голографу исходного вектора в рас-

сматриваемой точке (рис. 5). При этом dr

вектор — напранлен и ту сторону, куда at

перемешается конец вектора г(t) по го- дографу когда параметр t растет.

Пусть г = г(t) есть радиус-вектор

dr

Движущейся точки. Тогда вектор v= —

at

есть вектор скорости этой точки.

Пусть

r{t) = x(t)l+y(t)\+ z{t)k,

Рис. 5