Глава 1. Вектор-функция скалярного аргумента

Эго — урапнение окружности, лежвщей п плоскости Р, с ист ром а выбранной нами точке O'. Ралиус этой окружности определяется формулой (10). поскольку начальная точка Л/₀ также должна лежать на этой окружности Итак, окончательно

г = г₀ =

<й|Н|

(10)

Таким образом, если электрон попадает в однородное магнитное поле II с начальной скоростью *о, перпендикулярной к Н, то он будет описывать в этом иоле круговую траекторию, лежащую в плоскости Р, перпендикулярной к Н и проходящей через начальную точку. Радиус этой окружности определяется формулой (10), а ее центр О' лежит и» прямой, перпендикулярной к плоскости векторов и Н, причем из тачки О' поворот, от т₀ к Н должен быть виден прогни часовой стрелки.

Из формулы (10) видно, что радиус г₀ окружности обратно пропорцио­нален |Н|. Таким образом, чем сильнее напряженность магнитного поля, гем больше кривизна траектории Из формулы (II)

гпт = e₀[r, HJ

видно, что если г постоянен по модулю и псе время перпендикулярен к Н, то н скорость * точки будет постоянна по величине:

|v| = tn, = сопя,

так что электрон движется по орбите равномерно. Период обращения Т равен

г = — = 2(г— «о «,|НГ

(14)

В эту формулу не входит начальная скорость v_e- Таким образом, с кикой бы начальной скоростью перпендикулярной к Н. ни попал электрон в однородное магнитное поле Н. он будет сонсршать один оборот по орбите всег да за одно и то же время Т. независимо от величины v₀.

2. Пусть теперь электрон попадает н од- нородное магнитное поле Н с какой-либо начальной скоростью V, которая не перпен- дикулярна вектору Н Тогда эту скорость V можно разложить на дос составляющие: век- тор т₀, направленный перпендикулярно по- лю, и вектор V,, направленный вдоль маг- нитного поли.

Из формулы

F = e|V,H|=e₀|*o,H|

видно, что «закручивающая» cioia F будет определиться только перпендикулярной со- ставляющей v₀ и она сообщит электрону вра- щательное движение по кругу с це»ггром в 0\

рассмотрен нос выше Что касается второй составляющей v,. го электрон сохра- нит ее по инерции и будет, кроме кругового равномерного движения, переме- шаться еще прямолинейно и равномерно вдоль направления Н со скоростью «>1 = |V|coso. Сочетание этих двух движений ласт пинтовую линию с осью, параллельной нектору Н и проходящей через точку О’ (рис. 8). >

17

§ 5. Первая и вторая производные вектора по длине дуги кривой.

Кривизна кривой. Главна*) нормаль

Рассмотрим о пространстве не-

которую линию L. Выберем на ней какую-либо точку Mq в качестве на- чала отсчета и выберем также какое- либо направление вдоль линии L, ко- торое будем считать положительным.

В качестве параметра возьмем длину дуги s, отсчитываемую от точки Мо кривой (рис. 9). Тогда радиус-вектор точки М кривой будет

г = ф).

При таком выборе параметра

dr ds

где т° — единичный вектор, направленный по касательной к линии L в сторону возрастания параметра а.

Если вектор г задан координатами

г = 2l -f + гк,

то

причем

О Ах Лу Аг

^т ~diⁱ⁺V ⁺ Ts^k'

Гак как |т°| = 1, то вектор —- ортогонален вектору г¹

as

dr⁰

Модуль вектора —— as

dr°

ds

= АГ.

Здесь К — кривизна линии L в точке М.

dr¹

Прямая, имеющая направление вектора и проходящвя через

ds

точку Af кривой, называется главной нормалью кривой В точке М. Обо- значая единичный вектор этого направления через п°, будем иметь

^АЛ-

ds

= Кп°.

(I)

Гланд I. Вектор-функция скалярного аргумента

Величина, обратная кривизне кривой в данной точке, называется

радиусом кривизны кривой в этой точке и обозначается через R:

Поэтому формулу (1) можно переписать так:

SV

de⁷

dr⁰

da

Отсюда

или

I

* = * =

_ П”

R'

IdVl

Ids⁷ У

-Н(ё)Ч§)Ч£)’

(2)

Формула (2) позволяет вычислить кривизну линии в любой точке, если эта линия задана параметрическими уравнениями, в которых параметром является длина дуги в.

В частном случае плоской кривой — окружности радиуса а

a

х = a cos -, а

у = asm

a

имеем

d²x I a — = - - cos -, da² a a

d²y I . a

—y = — sin-, da^J а а

и формула (2) дает

cos

» ^S I « I

a a^{7 1} a a

т e. кривизна Окружности радиуса a постоянна и рйвна величине, обрат­ной радиусу окружности.

Если линия L определяется векторно-параметрическим уравнением г' — r(f)i где параметр t — произвольный, то

K = j =

dr dV

S’й²

г

(3)

Формула (3) дает возможность вычислить кривизну кривой н любой ее точке при произвольном параметрическом задании этой кривой.