Скалярное поле

§7. Примеры скалярных полей.

Поверхности и линии уровня

Определение. Если в каждой точке пространства илн части про­странства определено значение некоторой величины, то говорят, что задано поле данной величины.

Поле называется скалярным, если рассматриваемая величина скалярна, т. е. вполне характеризуется своим чнсловым значением.

Пример скалярных полей дает поле температур, электростатическое поле.

Задание скалярного поля осуществляется заданием скалярной функ­ции точки М

и = /(М).

Если в пространстве введена декартова система координат xyz, то

** = /(*>?,*)•

Геометрической характеристикой скалпрного поля служат поверхно­сти уровня — геометрическое место точек, в которых скалярная функция поля принимает одно и тоже значение. Поверхность уровня данного палп определяется уравнением

f(x, у, г) = С, где С = сопя.

В случае поля температур, создаваемого в однородной и изотропной среде точечным источником тепла, поверхности уроння будут сферами с центром в источнике (центрально-симметричное поле).

В случае бесконечной равномерно нагретЬй нити поверхностями уровня (Изотермическими поверхностями) будут круговые цилиндры, ось которых совпадает с нитью.

Прмиер 1. Построить поверхности уровня скалярного поли а = х 4- 2у + За.

Решение Поверхности уровня Определяются уравнением *«-2|M-3t = C, гае С ш сопи.

Эго ест» однопараметрйческое семейство параллельных плоскостей, >

Пример 2. Нвйти поверхности уровня скалпрного ПОЛЯ

и = х¹ + у - г.

1лава 2 Скалярное поле

Решение Поверхности уроиие определяют™ уравнением *’ + у¹ - *^J ~ С, rat С - сопя.

При С — 0 получаем круговой конус При любом С > 0 подучаем однополостные гиперболоиды вращения с осью, совпатакяпей с осью Or При С < 0 получаем лнухподостный гиперболоид вращения О

Пример 3- Найти поверхности уровня скалярного поля *.

u = arcsin . ■

у/х¹ + у¹

Решение Область определения данною скалярного поля находится на не равенства

$ I, т е. 0<-;

^ *>+у> *

откуда 0 $ I* $ х¹ ту’ Эюлвойное неравенство покатывает, что поле определено вне кругового конуса г х‘ ! у¹’ н нл нем самом, кроме ею вершины 0(0,0,0) Понсркностн уровни определяются уравнением

arcsin

у/х¹ + у^г 2 2

т е = sin С. кяи г¹ (х¹ + у³) sin ^JC Это есть семейство круговых

х/ае⁷ + у⁷

конусов, расположенных вис конуса г¹ — г* • у- с общей осью симметрии О. и обшей в-ршнной 0(0,0,0). в которой данное ноле не определено, причем сам конус х¹ = I* + у^} тикже входит в это семейство 1>

Пример 4. Найти поверхности уровня скалярного поля а = e^w*.

где а — постоянный вектор, г — радиус-вектор точки

Решение. Здесь

и пусть

Г= (*,»,*) = *I + M t гк.

а {о,.о_г,о,) = о,| f од г a,k.

Ттчла скалярное произведение

(а, г) =4 От* -о,у + о)*. Уравнение поверхностен уррвня 6yher

е^т = С, С> О,

Отсюда

(а,г> 1пС, Кли о,х + в2у|Ю|Х f 1пС- Это есп. семейство и. раллсльнык плоскостей

Задачи для самостоятельного решения

Найти поверхности уронил следующих скалярных полей:

х⁷ у’ z⁵

⁴⁵-“ = T ⁺ ?⁺i6

46. и = х‘ +• у³