х¹ + у'-2*> ** + у¹- 2у^;1,

(х» + р*)' * (х'+у'Г- J

(x^J + р* / 0)

Таким образом» rot II = О ветле» кроме оси Ох, п точках которой последние формулы теряют смысл (знаменатель обрвшостся а нуль) т.с. векторное поле Н начнется безиихреным исюлу вне точек оси Ох. О

Задачи для самостоятельного решения

Найти ротор следующих векторов:

176. а = (х¹ + у¹)! + (у³ + 3^)1 + (г¹ + х’)к.

180. a = r^,l + p^,j+i^!k.

181. a=i(-p³N-*^JJ)

182» Показать, что если координаты нектора а(Д7) имеют непрерыпные частные производные второго порядка, то div rota » 0, т.с. что векторное поле гоп есть солеиоидальное поле.

183. Показеть, что

a) rot (■ ± b) = rot a ± rot а; б) rol Аа = Л rota (Л — числовая постоянная).

183. Показать, что если и — и(го) — скалярная функция. а = а(Л/) — вектор, то rot (ив) = и rot а + {grad и, а].

184. Показать, что еедн ■ н b — постоянные векторы, г — радиус-вектор точки А/(х, у, г). то rot (г, а)Ь = {а, Ь].

185. Показать, что гос (га) = -|г,в), 1де в — постоянный иектор, г = 1г| = у/х* + у³ ч- x^J.

186. Показать, что rot (/(r)e)= где /(г) — произнольнви дифферен­

цируемая функиия сноего аргумента, а — постоянный вектор.

183. Показать, ч го векторное поле а = /(г)г янляется безяихреным, т. е. rol в = О

184. Показать, что div |*. b] = (b, rot я) — (в, rot b).

185. Показать, что ротор поля линейных скоростей v ирлшаюшегося твердого теле есть постоянный вектор, неправленный параллельно оси вращения, модуль когорого равен удвоенной уыокоЛ скорости прашении: rot v*= 2w

§16. Теорема Стокса

Пусть координаты нектора

а(М) = Р{х, у, z)i + Q(x, у, z)j + й(х, у, z)k

непрерывны и имеют непрерывные частные производные.

Теореме. Циркуляция вектора в по замкнутому контуру Z равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность £, натянутую

на контур

(0

£ (е, dr) = JJ (rot а, п°) da.

Предполагается, что ориентации нормали п" к поверхности £ со- ^класонанв с ориентацией контура Z так. чтобы из конца нормали обход

юнтура и выбранном направлении был виден совершающимся против

нюй стрелки.

Пример 1. Вычислить циркуляцию векторного поля а = -

xk по контуру X

Стокса.

{

х +у — 4,

z = 3,

1) непосредственно, 2) по теореме

Решение. I) Контур L окружность радиуса • 2. лежащий в плосхости г = 3 (рис. 32). Выберем Ьркентаипо на ней как указано на рисунке Параме- рнческнс уравнения линии I.

С х = 2 cost,

< у — 2sinf, lz=3 «Kf<2sr).

1К чю

dx = -2sinldt, dy = 2costdt, dz = 0.

Аля циркуляции лекторното поля а имеем

_/

, , , РИО.

[2sint(—2Sint) + 4cos42 cost — 3• 0J dt — —An.

81

полк по окружности

непосцедстцснно н но теореме Стокса

Из теоремы Стокса получаем. проекция вектора rota на любое направление п не зависит от выбора системы координат и равна поверх носгиой плотности циркуляции векторного поля в но контуру площадки, перпенликулнрной этому направлению:

Здесь (£) - плоская площадка, пгрпенлнкулярная вектору n, S площадка этой площадки, L — контур ндоитщисн, ориентированный так. ' чтобы обход контура был виден из конки вектора п против часовой стрел ки; запись (Е) -• М означает, что площадка (JJ) ст>пииается к точке М, и которой рассматриваегсн вектор rota, причем направление нормали л i к этой площадке ощастся все ирсчя одним и тем же

Пример 2. Вычислить плотность циркуляции векторного поля а = pi по окружности

а центре Этой окружности М(0,0,0} в положительном направлении

оси Ог.

Решение Здесь (й круз радиуса а с центром в точке М. так что

/ (», dr)

L

(2)

S

Искомая плотность циркуляция л и равна

С друзой стороны.

I j к

а о а

гея я =

Ох Пу 8: у 0 0

’и, значит.

Г

(пп*,п^и)|_|/ = (-Ь,к) = -1,

470. н силу (2). подткерждзет иериосп. рсзульыти.

о