I UK

Глава 5. Операторы Гамильтона и Лапласа

И

li(M) - Q,(x, у, z)J + Я,(х,у. z)k. It этом случае система иифферснии- апьных уравнений (2) для нахождении неизвестных функции <?|(х, 1/, z) и R\{x, у, z) примет вид

= Р.

= -<?, = R

(3)

OR | OQ,

Оу Oz OR,

Ox

OQ,

Ox

Из второго и третьего уравнений этой системы находим

Ri(*, У, *) = - f Q(*. У, z)dx + С,(у, z),

Q_t(x,y,z) ~ J R(x, y, z) dx + Cj(v, z),

где C,(v, z) и Су (у, z) — любые дифференцируемые функции риг. Положим для упрощения Су(у,х) = 0 и выберем функцию С|(у, z) так, чтобы удовлетворялось и первое уравнение системы (3). Для этого подставляем в первое уравнение найденные выражения для <?| и Rr

6 С ос о t

~dyj ^У'^Z* ^ ⁺ ер ~ fli / ^fl(*,y.z)dz = R(a:_>p,z).

Отсюда найдем

ОС, О Г , О Г

~Oy~J^j <?(*. ^y,Z'^>dx+ el J ^R^^X'^V’ ^ ^{dX + P(}-^X’^У' ^Z*

Легко проверить, что правая часть этого уравнения не зависит от х в силу того, что div ч[М) -О в С.

Интегрируя последнее равенство по у, найлем

С,(у. г) = f j Q(x, у, z) dx +

+ ^ J Щх. У, *) dx + Р(х, у, z)] dy + C₅(z). (4)

Полагая в (4) C,(z) — 0 и подставляя (4) в выражение для R,(x, у, z). получим частное решение системы (3):

Р, = О, (S)

Qi = J Я(х, », х) dx, (6)

§ 22. Векторный потенциал

109

Р> - У[^ J Q(x. у, z)dx + ^ J П(х, у, z),lx t- Р(х, у, z)j dy-

~ f Q(x,У, z)dx (7)

Вскшр b(Af). координагы R,(x,jt,z). Q,(x,jt,z) и R,(z,jt,z) кото­рого определяются формулами (5). (6). (7), является векторным потен­циалом, так как он уловлетвориег условию rolb = в.

Пример t. Найти векторный потенциал Ь — Ь(х, у, z) длв соленой - дального полв, задаваемого вектором а = 2yl - zj + 2xk.

Решение. Потенциал Ь мшен о виде

b = b(z, !t, z) = Ci I*. I/. z# + Ri (z, y. z)k, где <3,(z,y. ;) и R,(z,y,z) находим no формулам (6) н (7). Так как а данном случае Р - 2у, Q — -z. R = 2х, то будем иметь

<?i(z,y,z)= j 2х dz = z^{* 1}, Ri|z, у, z) — J z dz + J 2yrfy = zz-y^!. Итак.

b(T, y, z) = z’i + (zz (-s')k.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что rol b = в. и, значит, этот вектор якпяется векторным потенциалом данною пол» t>

Замечание. 8 виду произвола, допустимого при выборе вектора Ь. вместо услоиии P,(i,y,z) = и можно потребишь, чтобы Qi(z, у, z) 1- 0 или Я,(х.у, z) = 0. Система уравнений (2) и формулы (5). (6). (7) coothcictdchho изменятся.

Задачи для самостоятельного решения

Найт векторные потенциалы саленоиддлы1Ы> полей:

256. « = |+1 + к. 257. a=2yi + 2zj

258. в =• (е* - e^v)k 259. в = 6y'i h 6zj-‘-бхк.

260. в = Зу’i - х^г) - (у¹ т-2x)k 261. » = ye'i + 2yzj - (2zyze''+ z')k.

Если векторное поле a - »(M) солсноилально в области С которая является знеэлной (см § 19. гл. IV) с центром в начале координат 0(0,0,0) (поле а(А7) может быть нс определено н точке О), то один из векторных потенциалом b — Ь(АГ) можно найти по формуле

I

b(Af) = I [а(М'), r(M)]tdt.

(8)

где т{М) = xi + yj г zk есть радиус-вектор точки М(х,у, z), а точка M‘(tx,ly,tz) при изменении параметра t от 0 до 1 пробегает отрезок ОМ

b(ilf) = j [-(2хч/ т x^J)l 4- (2х“ - 2уг)\ т (2у¹ ь 22)k]t^J it —

i 5 I

=-3(2x8-a’)l + j(x^J + »*)J+ 3(2^ л-ха)к.

Легко установить, что rot b(/kf) - »(W). С>

Замечание. В примерах I н 2 для одного и того же соленоип&льного поля в = 2yi — xj -ь 2xk получены разные векторные потенциалы:

b,(JVf) = l^,J + (xx-_B^,)k,

Ь)(Л/) = -3(215/+ х’)|+ j(x^l - px)J-M j(2y^J + xx)k.

Они отличаются лругот друга слагаемым. равным гредиепту некоторого скалярного поля /(Af). Это слагаемое игрвет роль произвольной постоянной (при лейс1нии но нее ротора). Оно предстанимо как градиент некоторой скалярной функции /(М). Найдем эту функцию в нашем случае. Имеем

grad ДМ) = Ь,(М) - Ь,(Л/) = 3(2x5/ + х’)1 + 3 (х¹ + 2у=)( 4- j(2xx - y’)k

Длн нахождения скалярного поли f[M) применим формулу (3) из § 19, в которой за точку (£гнУо> *л) возьмем начало координат 0(0» 0,0). Тогда получим

* 9 I

ДЫ) = Jodx + j з*¹ dy + J з(2хх + i/³)dx 4-С = ^(xV + y¹* + *³*) + С,

0 II о

где С — пронзно, ьнии постоянная.

Пример 3. Найти векторный потенциал b мегнитного поля Н, созда­ваемого электрическим зарядом е, движущимся с постоянной скоро­стью V.