§ 20. Оператор Гэшлыонв * набла»

97

Пример 2. Покатать, что го» («а) = и го» я - [ft,grad и].

Решение В символическом записи

го» («а) — |У, ua).

Учитывая дифференциальные свойства V, сначала пишем

lV.ui| = |V,«,») + lV,u*_r| (7)

Затем в первом слагаемом справа ньжоенм скалярный множитель за знак и за знак векторного произведения, что дасг

|V, u_fa] = u_rfV,a| = и[У,а|.

Во втором слагаемом и (7) относим и к оператору V и изменяем порядок множителей для того, чтобы вектор а... на который ♦набла* не действует, оказался впереди V. Эго даст

| V, ua* j = (Vu,a_f| = -[в, Vu\.

Таким образом,

[\7,«а] = u|V,a| - [а, ^и|, или

rol(ua) = urota -{a, grad и]. О

Пример 3. Пользуясь символическим методом, найти div |а, Ь]. Решение. Имеем

div | в, И = (V, [а, Ы) = (V, I». Ь<]) + (?, [а_г, Ь)> (8)

Пользуясь свойством циклической перестановки множителей в смешанном произвел сини, преобразуем выражения в правой части (8) так, чтобы все посто явные величины оказались перед оператором V, а переменные — позади него. Получим

div |щ, Ь] = (I?,»], Ь<) - (V, |Ь,*,]) =

= (|?.*1Л) - (|С.Ь], я.) = (Ь, |?, »|) - (я. [V. Ь», т.е. div 1*,Ь| = (Ь, поля) - (а.пЯЬ). О

Замечание. Применяя символический метол, мы избегаем весьма сложны» аналитически* преобразовании и быстро получаем окончательный результат. Но, с другом стороны, различные формальные преобразования с операто­ром .набла* мало производить очень внимательно, в противном случае возможны, как мы вилсли, грубые ошибки Поэтому при отсутгпши уве ренкости в полученном результате его следует проверить аналитическим методом.

Задачи для самостоятельного решения

23В. Показать, что

. „ /«\ v^ti-uVc , . _м,

■) ^vlь) ⁼—?—^: ^ ^v/W^s/W^Ve<

239. Доказать, что вектор [^u, Vti) соленондалеи. если о и v — дифферента I руе.мые скалярные фуикпии.

V8

Используя опериюр Гамильтона V. доказать следующие рпнеистиа:

239. a) grad(uo) = ngrado-t-ugrad»; в) rot |«,b| = (Ь, V)a-(a, V)b + adivb- bdiva

240. rot [a, r| = J*. а — постоянный иектор.

241. Доквэигъ. что вектор а = о gnu) v ортогонален к rot й.

§21. Дифференциальные операции

второго порядка. Оператор Лапласа

Дифференциальные операции второго порядка получаются в резуль­тате двукратного применения к полям оператора V.

Пусть имеем скалярное поле и — и(М). Действуя па это поле, оператор V порождает векторное поле Vu — grad и.

Для векторного поля Vu оператор V, примененный поитарно к Vu, дает скалярное поле

(V, Vv) = divgradu- (l)

и векторное поле

[V. Vu| = rot grad и. (2)

Если задано векторное поле а = а(М), то оператор V порождает ска­лярное поле (V,ш) = diva. Дейс!яу« на скалярное поле diva, оператор V порождает векторное поле

V(V,a) = grad diva. (3)

Действуя нв векторное поле а = а(М), оператор V порождает также векторное поле [V, а] = rot а. Применяя к ЭГому нолю снова оператор V, получим скалярное иоле

(V.JV.aDsdivroia (4)

и векторное поле

[V. [V,a]| = rot го» а. (5)

Формулы (l)-(S) определяют так называемые дифференциальные опе­

рации второго порядка

Пример 1. Пусть функция u = и(х,у. z) имеет непрерывные част­ные производные до второго порядка включительно. Доказать, что rot grad « = 0.

Решение. Первый способ Действуя формально, получим rot grad о = [V. Vu] = |V, V|u = О,

так как 1 v, V] = 0 как векторное произведение дву* одинаковых «вехтороа..