§21. Дифференциальные операции второго порядка

99

Второй с II особ. Используя выражен кн rpiuifcii га и poiopa о «карто­ны* координатах и учитывая данные успоиия. Суден иметь

I

а

го! grad и =

ах

£и

вх

J к

в_ £ 6ц at ви ви By at

-Ш-Ш]'

/ а*и е\ \ / в>и а²и \ ( а*и е¹!! \

\3y5x Охву) ⁺ \5z0x dxdz ) ⁺ \0xlty дувх)

так как смешанные производные а этом случае рваны

З’и _ а¹ и _ в¹о а¹ о _ д’и

ay as a 10у‘ dtdx ах at' ах ву вувх Аналогично доказывается. что для векторного поли

* = /*(*. V. *)1 — <?(*. V, *)J + Я(х, У, *)к,

координаты P.Q. R которого имеют непрерывные частные производные второю порядка, получим div rot я = 0. О

Обратим особое внимание на дифференциальную операцию второго горняка div grad u = (V, Vu). Предполагая, что функция ti(i, у, г) имеет вторые частные Производные по г, у и х, получим

, (В В 8 ,0д 8v Ви \

^<v,Vu)_ (^¹⁺^ⁱ⁺ei^k^^,+^ⁱ⁺5i^k) -

_B_fBu\ S/£u\ —

~ 6х\Вх) ⁺ 0у\Ву) ⁺ Bz\8z) В³х* (Йу

В¹ д

⁺ ^^5A“-

ePv Л tfu В³х ⁺ В³ у ⁺ B³z

оператором Лапласа. Его можно представить как скалярное оператора Гамильтона V на самого себя. т. е

В⁷

В¹ В¹

Д ₌ (*,*) = ^ = _ ₊ _ ₊ _

Этот оператор шрает важную роль в математической физике.

Рассмотрим еще одну операцию второго порядка rot rot а. Имеем rot rot а = [V, |V, а]] Воспользуемся формулой для двойною векторного произнесения, записанной в виде [А, [В, С)| - В(Л, С) - (А, В)С. Заменяя

п этой формуле А на V. В на V, С на в, получим

|V, (V, в)| = V(V, а) - (V, V)a = V(V, а) - Да,

(6)

то дифференцируя (7) по I. получим

₌ Г_у «51

с 0t* L ’ И J

дН

е0^гЕ

Заменяй — из (8). найдем --—j - — — [’С', [V. Е|| или

Й^г

срд’Е с³ ВР

1^7,1^7. Е]|

(И)