§ 19. Вычисление линейного интеграла от потенциального поля 93

Пример 3. Найти потенциал векторного поля а - yz\ f zzj + хук

Решение. Легко видеть. что rot а = 0. т.е. данное векторное поле потении I ально. Эю паче определено во всем трехмерном пространстве, которое является I злеадным с центром в начале координат 0(0,0,0). поэтому ляя нахождения его } потенциала воспользуемся формулой (10) Так как в данном случае

a(Af') = i(Lr,iy,tz) f²y^l i Pej/k.

то скалярное произведение всктороп a(ilf) и н(.М') равно

(a(Af'), т{М)) = t\xyz 4- xyz 4-xyz) = 3Vxyz Искомый потении ал

t |

if{M) = j (a{Ad^r'),r(iY/)) dt = xy* J \T dt + C - z<ji + C

Итак.

V>(M) = xyz + C.

¹ Задачи для самостоятельного решения

. Используя формулу (10). пэйлсм потенциалы следующих немирных полей: 234. а = а| + fj +7I1, где от. р. 7 — постоянные.

Jj 235. a = (V+ »)i + (*-•-*)) + (y-t-z)k.

¹ 236. a = p( + xi 1- e'k.

237. a = e'sinyt +e*cosy)- k.

(->)

в частности, [V, с| = 0 (с — постоянный вектор).

95

Продолжая формализм действий с V как с вектором, из распредели- тельного свойства для скалярного и векторного произведений получаем

(V₁a + b) = (V.a)+(V,b), (5)

т. е. div (я + Ь) = div я + div Ь,

[V.a + bJ = |V,a] + [V,b], (6)

т.е, rot (а + Ь) = rot а + rot Ь.

Формулы (5) и (6) можно трактовать также как проявление диффе- ренциальных свойств оператора «набла» (V — линейный дифференци- альный оператор).

Используя формализм действий с оператором V как с вектором, следует помнить, что V не является вектором — он нс имеет ни величины, ни направления, так что, например, вектор [V, •] не будет, вообше говоря, перпендикулярен вектору а (однако для плоского поля а = р(х, у)1 + <?{*, y)i вектор

[V.a] = n,t.= (g-g)k

будет перпендикулярен плоскости хОу, а значит, и вектору а). Точно так же по отношению к символическому вектору V понятие коллинеар- ности нс имеет смысла. Например, выражение lVv>, где у> и ф — скалярные функции, формально напоминает векторное произведение , двух кодлинеарных векторов, которое всегда равно нулю. Но и общем I случае это ис имеет места. В самом деле, вектор Vys = grad <р направлен

по нормали к поверхности уровня <р = const, в вектор Vtp = grad ф определяет нормаль к поверхности уровня V = const, и эти нормали в общем случае не обязаны быть коллинеарными (рис. 3S). С дру- гой стороны, в любом дифферен- цируемом скалярном поле <р имеем [V<p, V(2>] = 0. Эти примеры пока- зывают, что с оператором V нужно обращаться с осторожностью.

Наряду с векторной природой оператор Гамильтона «маблв» име- ет дифференциальную природу. Учи- тывая дифференциальный харак-

тер V, условимся считать, что оператор V действует на все величины, написанные за ним. В этом смысле, скажем, (V, я) (а, V). В самом деле,

(V, я) = div а,

Пиша 5 Операторы Гвмильтона п Лапласа

и то прими как

ОИв

есть скалярный дифференциальный оператор.

Применяя оператор V к произволению каких-либо величин, надо иметь и пиле правило дифференцировании пронзвеленнн

д . dv ви

--(«v) = и- + ы — Ох дх Вх

Отсюда следуем. что оператор «набла» наио применить поочерелно к ка­ждому множителю, оставляй остальные множители неизменными, н затем брать сумму полученных выражений. При зточ будем руководствоваться следующими правилами

1. Ьсли оператор V действует на какое-либо произведение, то в первую очередь учитывается ею дифференциальный характер, а затем уже векторные свойства

2. Чтобы отметить тот факт, что «нябла» не воздействует на какую- либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину отмечают субиндексом с (const), который в окончательном результате может бьпьекяг.

3 Все величины, на которые оператор «набла» не воздействует, в окон­чательном результате ставится впереди «набла», т. е. слева or него.

Пример 1. Показать, что Фу (tia) = «diva + (в,grad и). Здесь « — скалярная функция, а — вектор-функция.

Решение В символической записи

div(ui) = (V. ua).

Учитывая сначала дифференциальны!) характер V, мы должны написать (У.иа) = (У₁.уО + (У₁иа,>.

Рассматривая выражение (^, и,») мы можем постоянный множитель щ вынести за знак «набла- и, как скаляр, за знак скалярною произведения, что дает

(V,u_tB) = (и,У, ■) = u,(V,a) = и_г(У,я)

(на последнем шаге мы опустили инлекс с)

В выражении (С, од.) оиерагор V действует только на скалярную функ­цию и. поэтому мы можем написать. Ч(о

(У, о₍я) = (Уи, я. ) — (i,. Vo) = (ж, Уи).

В результате получаем формулу

(У, ия) = и(У, а) + (а. Уи),

ИЛИ

div(u_a) и diva (a, grad и)

О